人教版高中数学每日一练　第五周.docx

第五周
[周一]
1．(2022·聊城模拟)已知数列{an}满足：an＋2＋(－1)nan＝3，a1＝1，a2＝2.
(1)记bn＝a2n－1，求数列{bn}的通项公式；
(2)记数列{an}的前n项和为Sn，求S30.
解　(1)因为an＋2＋(－1)nan＝3，
令n取2n－1，则a2n＋1－a2n－1＝3，
即bn＋1－bn＝3，b1＝a1＝1，
所以数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以bn＝3n－2.
(2)令n取2n，则a2n＋2＋a2n＝3，
所以S30＝(a1＋a3＋…＋a29)＋(a2＋a4＋…＋a30)，
由(1)可知，
a1＋a3＋…＋a29＝b1＋b2＋…＋b15＝330；
a2＋a4＋…＋a30＝a2＋(a4＋a6)＋…＋(a28＋a30)＝2＋21＝23，
所以S30＝330＋23＝353.
[周二]
2．(2022·济南模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＋C＝2B，△ABC的面积S＝a.
(1)求c；
(2)若△ABC为锐角三角形，求a的取值范围．
解　(1)因为A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，
所以B＝；
因为S＝acsin B＝ac＝a，
所以c＝1 .
(2)在 △ABC中，由正弦定理得＝，
由(1)知B＝，c＝1，
代入上式得a＝＝
＝＝＋，
因为△ABC为锐角三角形，
则A＋C＝，A＝－C<，
所以C∈，
所以tan C∈，
所以a＝＋∈.
[周三]
3．(2022·青岛模拟)如图①，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝CD＝2，AB＝4，E为AB的中点，以DE为折痕将△ADE折起，连接AB，AC，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列两个问题．
(1)证明：AC⊥DE；
(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求平面ADE与平面ACE夹角的余弦值．
①四棱锥A－BCDE的体积为2；
②直线AC与EB所成角的余弦值为.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)证明　在图①中，连接CE(图略)，
因为DC∥AB，CD＝AB，E为AB中点，
所以DC∥AE，DC＝AE，
所以四边形ADCE为平行四边形，
所以AD＝CE＝CD＝AE＝2，同理可证DE＝2，
在图②中，取DE的中点O，连接OA，OC(图略)，
则OA＝OC＝，
因为AD＝AE＝CE＝CD＝2，
所以DE⊥OA，DE⊥OC，
因为OA∩OC＝O，OA，OC⊂平面AOC，
所以DE⊥平面AOC，
因为AC⊂平面AOC，所以DE⊥AC.
(2)解　若选择①：
因为DE⊥平面AOC，DE⊂平面BCDE，
所以平面AOC⊥平面BCDE，交线为OC，
所以过点A作AH⊥OC，则AH⊥平面BCDE，
因为S四边形BCDE＝2，
所以四棱锥A－BCDE的体积
VA－BCDE＝2＝×2·AH，
所以AH＝＝OA，
所以AO与AH重合，
所以AO⊥平面BCDE，
建立如图所示的空间直角坐标系，并连接CE，
则O(0,0,0)，C(－，0,0)，
E(0,1,0)，A(0,0，)，
＝(，1,0)，
＝(，0，)，
平面DAE的一个法向量为＝(，0,0)