人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题突破练6　利用导数证明问题（word版含解析）.docx

专题突破练6　利用导数证明问题
1.(2021·海南海口月考)已知函数f(x)=x2+2ax(a>0)与g(x)=4a2ln x+b的图象有公共点P,且在点P处的切线相同.
(1)若a=1,求b的值;
(2)求证:f(x)≥g(x).
2.(2021·辽宁朝阳一模)已知函数f(x)=ex-asin x-x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y-1=0.
(1)求实数a的值;
(2)证明:对∀x∈R,f(x)>0恒成立.
3.(2021·河北石家庄三模)已知函数f(x)=aln x-x2+x+3a.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若0<a<14,求证:f(x)<exx-x2+x.
4.(2021·江苏百校联盟3月联考)已知函数f(x)=aex+sin x+x,x∈[0,π].
(1)证明:当a=-1时,函数f(x)有唯一的极大值点;
(2)当-2<a<0时,证明:f(x)<π.
5.(2021·广东湛江一模)已知函数f(x)=ex,g(x)=2ax+1.
(1)若f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值集合;
(2)若a>0,且方程f(x)-g(x)=0有两个不同的根x1,x2,证明:x1+x22<ln 2a.
6.(2021·广州一模)已知函数f(x)=xln x-ax2+x(a∈R).
(1)证明:曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l恒过定点;
(2)若f(x)有两个零点x1,x2,且x2>2x1,证明:x12+x22>4e.
专题突破练6　利用导数证明:问题
1.(1)解: 设P(x0,y0)(x0>0),则x02+2ax0=4a2ln x0+b.
又f'(x)=2x+2a,g'(x)=4a2x,∴2x0+2a=4a2x0.
∵a=1,∴x02+x0-2=0,∴x0=1,则4×1×0+b=1+2=3,解得b=3.
(2)证明: 由(1)得2x0+2a=4a2x0,即x02+ax0-2a2=0,得x0=a.
∴a2+2a2-4a2ln a-b=0.
令h(x)=f(x)-g(x)=x2+2ax-4a2ln x-b(a>0),则h'(x)=2x+2a-4a2x=2(x2+ax-2a2)x=2(x+2a)(x-a)x.
当0<x<a时,h'(x)<0;
当x>a时,h'(x)>0,故h(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增.
∴x=a时,函数h(x)取得极小值即最小值,且h(a)=a2+2a2-4a2ln a-b=0,因此h(x)≥0,故f(x)≥g(x).
2.(1)解: f'(x)=ex-acos x-1.
∵曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y-1=0,
∴f'(0)=-1,∴1-a-1=-1,得a=1.
(2)证明: 由于f(x)=ex-sin x-x,要证明对∀x∈R,f(x)>0恒成立,需证明对∀x∈R,ex-x>sin x