人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题突破练7　利用导数研究函数的零点（word版含解析）.docx

专题突破练7　利用导数研究函数的零点
1.(2021·福建厦门月考)已知函数f(x)=x3-43x2ex的定义域为[-1,+∞).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)讨论函数g(x)=f(x)-a在区间[-1,2]上的零点个数.
2.(2021·江苏苏州月考)已知函数f(x)=x2a-2ln x(a∈R,a≠0).
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2(x1<x2),且a=4,证明:x1+x2>4.
3.(2021·山东烟台期中)已知函数f(x)=ax+2ex+1(a∈R).
(1)若函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)当a≠0时,讨论函数g(x)=f(x)-a-3的零点个数,并给予证明.
4.(2021·山西太原三模)已知函数f(x)=aln x-14x2+b-ln 2的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y=-12x+1.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)=f(x)-m的两个零点,求证:x2-x1<32-4m.
5.(2021·广东佛山期末)已知函数f(x)=ln x-mx有两个零点.
(1)求m的取值范围;
(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:f'(x1+x2)<0.
6.(2021·山东实验中学模拟)已知函数f(x)=2exsin x(e是自然对数的底数).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)记g(x)=f(x)-ax,0<a<6,试讨论g(x)在区间(0,π)上的零点个数(参考数据:eπ2≈4.8).
专题突破练7　利用导数研究函数的零点
1.解: (1)f'(x)=x3+53x2-83xex=x3(3x+8)(x-1)ex,
因为x∈[-1,+∞),所以函数f'(x)的零点为0和1.
所以当0<x<1时,f'(x)<0;
当x>1或-1≤x<0时,f'(x)>0.
所以f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为[-1,0),(1,+∞).
(2)由(1)知,f(x)在区间[-1,2]上的极大值为f(0)=0,极小值为f(1)=-e3.
因为f(-1)=-73e,f(-1)f(1)=7e2<72.72<1,所以f(1)<f(-1)<0.f(2)=8e23,由g(x)=0,得f(x)=a.
故当a<-e3或a>8e23时,g(x)的零点个数为0;
当a=-e3或0<a≤8e23时,g(x)的零点个数为1;
当-e3<a<-73e或a=0时,g(x)的零点个数为2;
当-73e≤a<0时,g(x)的零点个数为3.
2.(1)解: 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2xa−2x=2x2-2aax.
当a<0时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在区间(0,+∞)上无极值;
当a>0时,若x∈(0,a),f'(x)<0,f(x)在区间(0,a)上单调递减.
若x∈