人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题突破练15　空间位置关系、空间角的向量方法（word版含解析）.docx

专题突破练15　空间位置关系、空间角的向量方法
1.(2021·江苏扬州一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BD⊥DC,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点.
求证:(1)AP∥平面EBD;
(2)BE⊥PC.
2.(2021·江苏泰州模拟)在正四棱锥P-ABCD中,AB=2,PA=6,E,F分别是AB,AD的中点,过直线EF的平面α分别与侧棱PB,PD交于点M,N.
(1)求证:MN∥BD;
(2)若EF=2MN,求直线PA与平面α所成角的正弦值.
3.(2021·湖南常德一模)如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,D为△ABC所在平面内一点,且四边形ABCD是菱形,AC∩BD=O,四边形ACC1A1为正方形,平面A1DC1⊥平面A1B1C1.
(1)求证:B1O⊥平面ABCD;
(2)求二面角C-DC1-A1的正弦值.
4.(2021·全国Ⅰ,理18)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM.
(1)求BC;
(2)求二面角A-PM-B的正弦值.
5.(2021·山东泰安一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2AD=2,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)若PA=1,求证:AE⊥平面PCD;
(2)当直线PC与平面ACE所成的角最大时,求三棱锥E-ABC的体积.
6.(2021·山东日照二模)如图,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,∠ACB=∠ACD=θ.
(1)求证:AC⊥BD.
(2)有三个条件:①θ=60°;②直线AC与平面BCD所成的角为45°;③二面角A-CD-B的余弦值为33.请你从中选择一个作为已知条件,求直线BC与平面ACD所成角的正弦值.
专题突破练15　空间位置关系、空间角的向量方法
1.证明: (1)连接AC交BD于点O,连接OE,
因为四边形ABCD为平行四边形,所以O为AC的中点.
又E为PC的中点,所以AP∥OE.
又AP⊄平面EBD,OE⊂平面EBD,所以AP∥平面EBD.
(2)因为△PCD为正三角形,E为PC的中点,所以PC⊥DE.
因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,BD⊂平面ABCD,BD⊥CD,所以BD⊥平面PCD.
又PC⊂平面PCD,所以PC⊥BD.
又BD∩DE=D,所以PC⊥平面BDE.
又BE⊂平面BDE,所以BE⊥PC.
2.(1)证明: 因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,
又EF⊄平面PBD,BD⊂平面PBD,所以EF∥平面PBD.
又EF⊂平面α,平面α∩平面PBD=MN,
所以EF∥MN,所以MN∥BD.
(2)解: 因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF=12BD.
又EF=2MN,所以BD=4MN.
由(1)知MN∥BD,所以PM=14PB.
如图,以BD的中点O为坐标原点,建立空间直角坐标系,则A(1,-1,0),E(1,0,0),F(0,-1,0),B(1,1,0),P(0,0,2),
所以AP=(-1,1,2),EF=(-1,-1,0),PB=(1,1,-2),EB=(0,1,0),所以MB=34PB=34,34,-32,所以EM=EB−MB=-34,14,32.
设平面α的法向量为n=(x,y,z),
则n·EF=0,n·EM=0,即-x-y=0,-34x+14y+32z=0,
令x=3,则y=-3,z=2,所以n=(3,-3,2)为平面α的一个法向量.
设直线PA与平面α所成的角为θ,
则sin θ=|cos<AP,n>|=|AP·n||AP||n|=26×22=3333,
所以直线PA与平面α所成角的正弦值为3333.
3.(1)证明: 如图,取A1C1的中点M,连接MD,MB1,MO.
由题意可知B1M∥BD,B1M=BO=OD,
所以四边形B1MDO是平行四边形.
因为A1B1=B1C1,所以B1M⊥A1C1.
因为四边形ACC1A1为正方形,所以OM⊥A1C1.