人教版专题26 函数新定义综合问题（单选+多选+填空）（新高考通用）解析版.docx

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【冲刺985、211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题26 函数新定义综合问题（单选+多选+填空）
（新高考通用）
一、单选题
1．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练****设，用表示不超过的最大整数，则称取整函数，例如：，已知则函数的值域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分离常数得，进而求得，从而可得答案.
【详解】
，，，，
当
当.
故选:D
2．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练****已知数列满足：，数列满足：，若表示不超过的最大整数（例如），则（    ）
A．26 B．25 C．23 D．21
【答案】D
【分析】根据已知递推关系可得，结合等差数列通项公式得，进而确定的通项公式，根据新定义求目标式的值.
【详解】由题设，，整理得，而，
所以是首项为2，公差为1的等差数列，故，则，
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又，故，
所以.
故选：D
3．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练****中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”.则下列关于“优美函数”的说法中正确的有（    ）
①函数可以是某个圆的“优美函数”
②（）可以同时是无数个圆的“优美函数”
③函数可以是无数个圆的“优美函数”
④若函数是“优美函数”，则函数的图象一定是中心对称图形
A．①② B．①④ C．①②③ D．②③
【答案】C
【分析】对于①，通过判断函数的奇偶性结合“优美函数”的定义判断，对于②，利用正弦函数的性质求出其对称中心，再结合“优美函数”的定义判断，对于③，分离常数求出函数的对称中心，再结合“优美函数”的定义判断，对于D，举例判断.
【详解】解 ：对于①，函数的定义域为，
因为，
所以函数为奇函数，
所以函数可以是单位圆的“优美函数”，故①正确，
对于②，函数，
令，则，
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所以函数的对称中心为，
所以以为圆心，为半径的圆都能被函数的图象平分，
即（）可以同时是无数个圆的“优美函数”，故②正确；
对于③，，
令，因为，
所以函数为奇函数，
又因函数是由函数向上平移一个单位得到的，
所以函数的对称中心为，
所以以为圆心，为半径的圆都能被函数平分，
即函数可以是无数个圆的“优美函数”，故③正确；
对于④，若的图象是中心对称图形，则此函数一定是“优美函数”，但“优美函数”不一定是中心对称图形，如图所示，故④错误.
故选：C.
4．（2023春·广东·高三校联考阶段练****若存在常数，使得函数对定义域内的任意值均有，则关于点对称，函数称为“准奇函数”.现有“准奇函数”，对于，，则函数在区间上的最大值与最小值的和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，，根据“准奇函数”的定义可确定，
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都关于对称，则由对称性可得的最值之和，进而得到的最值之和.
【详解】令，则，
关于点中心对称；
令，则，
关于点中心对称；
，，
设在处取得最大值，则在处取得最小值
，
，即的最大值与最小值的和为.
故选：B.
5．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练****已知不等式的解集为，若中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”，若关于的不等式在区间上存在“和谐解集”，则实数的可能取值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知可得.令，.根据函数的单调性，可得.结合“和谐解集”的定义可知，唯一整数解只能是.进而得到实数的取值范围，即可得出答案.
【详解】当时，原不等式可化为，整理可得；
当时，原不等式可化为，整理可得.
所以不等式可化为.
令，，
则.
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所以在上单调递增，在上单调递，所以.
因为，所以.
又.
所以要使只有一个整数解，则唯一整数解只能是.
又因为点，是图象上的点，
所以.
因为， ，，，所以实数的可能取值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：去绝对值后，根据的单调性，即可得到，进而得到，即可得到唯一整数解为.
6．（2023·广东江门·统考一模）我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列，那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列（）的通项公式为，，记为的值域，为所有的并集，则E为（    ）
A． B． C． D．