人教版专题30 计数原理与概率统计大题综合 （新高考通用）解析版.docx

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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题30 计数原理与概率统计大题综合 （新高考通用）
1．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．
(1)求甲班在项目A中获胜的概率；
(2)设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，利用独立事件的乘法公式求解即可；
（2）先算出“甲班在项目B中获胜”的概率，然后利用独立事件的乘法公式得到X的分布列，即可算出期望
【详解】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，
则，
所以甲班在项目A中获胜的概率为
（2）记“甲班在项目B中获胜”为事件B，
则，
X的可能取值为0，1，2，
则，
，
．
所以X的分布列为
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X
0
1
2
P
．
所以甲班获胜的项目个数的数学期望为
2．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）某校为了合理配置校本课程资源，教务部门对学生们进行了问卷调查．据统计，其中的学生计划只选择校本课程一，另外的学生计划既选择校本课程一又选择校本课程二．每位学生若只选择校本课程一，则记1分；若既选择校本课程一又选择校本课程二，则记2分．假设每位选择校本课程一的学生是否计划选择校本课程二相互独立，视频率为概率．
(1)从学生中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从学生中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】(1)根据题意得出不选择校本课程二的概率为，选择校本课程二的概率为，X的可能取值为3，4，5，6，分别求出对应的概率，由此能求出X的分布列和期望；
(2) 这n人的合计得分为分，则其中只有1人计划选择校本课程二，
则，设，利用错位相减法即可求解.
【详解】（1）由题意知，每位学生计划不选择校本课程二的概率为，
选择校本课程二的概率为，
则X的可能取值为3，4，5，6，
，，
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，，
所以X的分布列如下表所示：
X
3
4
5
6
P
所以．
（2）因为这n人的合计得分为分，则其中只有1人计划选择校本课程二，
所以，
设，
则，
由两式相减得，
即，
所以.
3．（2023秋·浙江宁波·高三期末）甲、乙两位棋手，与同一台智能机器人进行国际象棋比赛，相互独立，互不影响，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率0.5.记甲在一轮比赛中的得分记为X，在两轮比赛中的得分为Y.
(1)若甲单独与机器人进行三次比赛，求甲恰有两次赢的概率；
(2)求X的分布列；
(3)求Y的均值.
【答案】(1)0.432
(2)分布列见解析
(3)
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【分析】（1）利用独立重复试验求概率公式进行求解；
（2）写出X的可能取值及相应的概率，得到分布列；
（3）在第二问的基础上，写出Y的可能取值及相应的概率，得到分布列，得到均值.
【详解】（1）设甲恰有两次赢的概率为，
；
（2）X的可能取值为，0，1.
根据记分规则，得，
，
，
所以X的分布列为
X
0
1
P
0.2
0.5
0.3
（3）两轮比赛甲的得分Y的可能取值为.
由于两轮比赛的结果是独立的，所以
，
，
，
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
P
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
故.
4．（2023春·浙江·高三开学考试）第二十二届世界足球赛于2022年11月21日在卡塔尔举行，是历史上首次在中东国家境内举行，也是第二次再亚洲举行的世界杯足球赛，在此火热氛围中，某商场设计了一款足球游戏：场地上共有大、小2个球门，大门和小门依次射门，射进大门后才能进行小门射球，两次均进球后可得到一个世界杯吉祥物“拉伊卜”．已知甲、乙、丙3位顾客射进大门的概率均为，射进小门的概率依次为，
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