人教版专题32 导数大题综合 （新高考通用）解析版.docx

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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题32 导数大题综合 （新高考通用）
1．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知，．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求a的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）求导，通过，判断导数方程两根大小，数形结合判断函数单调性.
（2）根据函数单调性可判断函数有两个零点时是极值为时，求出极值解方程可得.
【详解】（1）
，
当单调递增，
当，单调递减，
当单调递增.
综上所述，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）情况一：若,即时,由的单调性,其在上恒为正,无零点,
在增区间至多有一个零点,不符题意.
情况二：若,即时,
由于,由零点存在定理,在区间上存在一个零点，
取,则,
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，
当时,,由于在区间上单调递增,
故在恒为正,无零点,由零点存在定理,在区间上存在一个零点,符合题意，
情况三：若,即时,同情况二可得在增区间恒为正,无零点,
仅有一个零点,不符题意，
综上,的取值范围是.
【点睛】思路点睛：本题第二问在于合理地分类讨论，结合函数单调性，连续性，利用零点存在定理证明每类情况时的零点个数.
2．（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对恒成立，求k的取值范围；
(3)求证：对，不等式恒成立.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】(1)对函数求导，利用导数的几何意义即可求解；
(2)根据题意将不等式进行等价转化为求函数在的最小值问题，利用导数求解即可；
(3)结合（2）的结论，构造函数，利用导数即可求解.
【详解】（1）因，
所以，所以所求切线方程为，
即；
（2）因为在上恒成立，
而，令得
所以
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①当，即时，，
所以在上单调递增，则，满足题意；
②当，即时，设，
则的对称轴为，
所以在上存在唯一零点，当时，，
所以在上单调递减，故，不合题意.
综上，k的取值范围为；
（3）由（2），当时，在恒成立，即，
令，
则，故在上单调递增，
所以，即在上恒成立.
综上可得，对，不等式恒成立.
【点睛】关键点点睛：第三问解题关键是在（2）中令得到，将所证明的不等式转化为证明在上恒成立即可.
3．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求实数的值；
(2)证明：若，则.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合三角形面积公式进行求解即可；
（2）根据函数的零点存在性原理，结合函数导数的性质、通过构造新函数进行求解即可，
【详解】（1），切点为，则切线方程为，当时，
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在中，分别令得该切线分别与两坐标轴交于两点，故三角形面积为，
因此，解得，
当时，，显然该直线与两坐标轴围不成三角形，
综上所述：；
（2）①当，所以；
②当，要证，即证，令，，令，
，所以在上单调递增.取，
使得，即，则，
又，所以由零点存在定理知存在唯一零点，
即有唯一的极值点且为极小值点.又，
即，故，令，，所以在上单调递减，
所以，所以.
综上所述，当，则.
【点睛】关键点睛：根据函数的极值定义、函数零点存在性原理是解题的关键.
4．（2020秋·山东淄博·高三校考期中）已知函数.
(1)若，求证：.
(2)讨论函数的极值；
(3)已知，证明
【答案】(1)证明见解析；
(2)当时，没有极值；当时，在处取得极小值
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，无极大值；
(3)证明见解析；
【分析】（1）根据导数正负得出其单调性，即可得出其最值，证明出结论；
（2）分类讨论，根据函数导数得出其极值；
（3）令，根据导数得出其在上单调递增，即可根据已知得出，结合对数运算与对数函数单调性即可得出答案.
【详解】（1）当时，，
则，
则当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则；
（2）根据题意得：，
当时，，则在上单调递减，没有极值，
当时，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则在处取得极小值，无极大值，
（3）令，
则，当时，，即在上单调递增，
则当时，，则，则，
则根据对数单调性可得：，
【点睛】在含参函数求单调性或极值，求导后结合其形式对参数进行讨论，注意不要漏；
一般解不等式时，通常要构造函数，利用导数来求解，我们可以反过来看，已知