人教高中数学思想03 数形结合思想（讲）【解析版】.docx

第三篇 思想方法篇
思想03 数形结合思想（讲）
考向速览
方法技巧 典例分析
一．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：
（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．
（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．
（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．
二．特别提醒
数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学****中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：
（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；
（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；利用数形结合探究方程解的问题应注意两点
（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证．
三. 命题规律
1．数形结合思想在高考试题中主要有以下几个常考点
（1）集合的运算及Venn图；
（2）函数及其图象；
（3）平面向量
（4）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；
（5）方程（多指二元方程）及方程的曲线；
（6）对于研究距离、角或面积的问题，往往涉及直线与圆、立体几何、圆锥曲线等，利用几何图形或形数转换求解；
（7）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用【与函数方程思想相结合】．
2．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；“对勾函数”应用单调性或基本不等式；三角函数图象和性质；斜率公式；两点间的距离公式（或向量的模、复数的模）；点到直线的距离公式等．
01 研究图形的形状、位置关系、性质等
【核心提示】
1.函数图象与性质应用问题：即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的，破解此类题的关键点：
①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题；
②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象；
③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化；
④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论．
2.熟练掌握函数图像的变换：由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．
【典例分析】
典例1.（河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评（四））函数的大致图象是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性即可排除选项；再利用特殊值即可排除选项，进而求解.
【详解】函数的定义域为，
且，
所以是奇函数，图象关于原点对称，排除选项，
只需研究的图象，当时，，则，排除选项.
故选：．
点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)利用函数值考察特征点，排除不合要求的图象．（5）应用导数研究函数的性质，考察图象升降的快慢、极值点，发现图象差别.利用上述方法排除、筛选选项．
典例2.（2022·北京·统考模拟预测）已知函数的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用分类讨论思想，根据函数值的符号，及变化，分别对四个选项判断即可求解.
【详解】对于，当时，，所以，故选项错误；
对于，当时，，所以，故选项错误；
对于，当时，，所以，且时，，；当时，，所以，且时，，，故选项正确；
对于，当时，，则，所以，故选项错误，
故选：.
典例3.（2023·河南·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，F是椭圆的左焦点．若椭圆C上存在两点A，B满足，且A，B，O三点共线，则椭圆C