人教高中数学微专题16 立体几何经典题型精练（解析版）.docx

微专题16 立体几何经典题型精练
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练****四棱锥，底面ABCD是平行四边形，，且平面SCD平面ABCD，点E在棱SC上，直线平面BDE.
(1)求证：E为棱SC的中点；
(2)设二面角的大小为，且.求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值.
【解析】（1）连AC交BD于F，连EF．
∵ABCD是平行四边形，∴
∵直线平面BDE，面PAC，面面，
∴，由是中点，
∴E为棱SC的中点；
（2）取DC中点O，OC中点G，连SO，OF，GE，BG
∵侧面SCD满足，不妨设
∴，
∵平面平面ABCD，平面平面
∴平面ABCD，又平面ABCD，故，
∵
∴
∵ ∴    ，∴，又，平面，
∴平面
∴是二面角的平面角
∴，又，
∴∴∴
∴∴
∴，∵
∴，∴平面ABCD
∴为直线EB与平面ABCD所成的角
，即直线EB与平面ABCD所成的角的正切值为
例2．（2023·浙江·三模）如图，四面体的棱平面，．
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面所成锐二面角的正切值为，线段与平面相交，求平面与平面所成锐二面角的正切值．
【解析】(1)
作于M，连接，则，，则，
则，故．又，则，又，平面，故平面，
又平面，则平面平面．
(2)
作于G，于H，由（1）知，又，平面，则平面，
又平面，则，又，同理可得平面，，则三点共线．
由平面与平面所成锐二面角的正切值为，则，又，则．又，
则，，则．延长交于点N，连接，作于K，
易得，又，平面，则平面，又平面，则，
则平面与平面所成锐二面角即．又，则，又，则，
故，故．
例3．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）如图（1），在正方形中，、、分别为、、的中点，点在对角线上，且，将、、分别沿、、折起，使、、三点重合（记为），得四面体（如图（2）），在图（2）中.
(1)求证：平面；
(2)在上，求一点，使二面角的大小为.
【解析】（1）在图（1）中，连接，设，S为的中点，连接、，，，而分别是的中点，则，，于是，
又，则为的中点，也为的中点.
在图（2）中，的中点为，连接，又为的中点，∴
∵不在平面内，在平面内，∴平面.
（2）由题意知，在图（2）中，直线、、两两互相垂直，且相交于一点.
∴以为原点，分别以直线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
设正方形的边长为，则，，，，，，，
设，
∴，
设平面的一个法向量为，则得，得，取，得，∴，
又知平面的一个法向量为，∴，即，即，
解得.
∴所求的点在上靠近的三等分点处.
例4．（2023·全国·高三专题练****已知梯形，现将梯形沿对角线向上折叠，连接，问：
(1)若折叠前不垂直于，则在折叠过程中是否能使？请给出证明；
(2)若梯形为等腰梯形，，折叠前，当折叠至面垂直于面时，二面角的余弦值．
【解析】（1）假设折叠过程中能使．
折叠前，假设，E为垂足，连，则与不垂直．①
折叠后，若，又与是平面内的相交直线，
故平面，又平面，从而有，

故折叠前也应有②.显然，①与②矛盾．故假设不能成立．
即折叠过程中不能使．
（2）设折叠前与的交点为F，则由题意易知．
折叠前，在梯形内过B做，垂足为G，
则．
折叠后，因为面垂直于面，而，所以．
所以，
又和是平面内的相交直线，所以平面．所以．
解法①：过点C在平面内作，H为垂足，连接，
又，则平面，又平面，所以，
故即为二面角的平面角．
在中，，
所以，又，则
得，又，
所以，
即二面角的余弦值为．
解法②：以F为原点，分别以FD、FC、FB为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，
则．
于是，，
设平面的一个法向量为，则
则，令，则，则，
设平面的一个法向量，则
则，令，则，则，
记二面角的平面角为，
则．
又观察发现二面角为钝角，故二面角的余弦值为．
例5．（2023秋·福建福州·高三福建省福州格致中学校考阶段练****如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是
上的动点.
(1)求证：；
(2)若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.
【解析】（1）证明：因为C是以为直径的圆O上异于A，B的点，所以，
又平面平面，且平面平面平面，
所以平面平面.
所以
（2）由E，F分别是的中点，连结，所以，由（1）知