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小题满分练4
一、单项选择题
1.(2022·中山统考)设全集U与集合M，N的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)
A．M∩N B．M∪N
C．(∁UM)∪N D．(∁UM)∩N
答案　D
解析　由Venn图知，元素属于N但不属于M，
即阴影部分对应的集合为(∁UM)∩N.
2．(2022·衡水中学模拟)如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)为纯虚数，那么b等于(　　)
A．1 B．2 C．4 D．－4
答案　A
解析　＝
＝
＝＋i，
因为复数为纯虚数，
所以＝0且≠0，解得b＝1.
3．“a2＝1”是“直线x＋ay＝1与直线ax＋y＝1平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为直线x＋ay＝1与直线ax＋y＝1平行，所以a≠0，且两直线的斜率相等，
即－＝－a，解得a＝±1，
而当a＝1时，直线x＋ay＝1为x＋y＝1，同时ax＋y＝1为x＋y＝1，两直线重合，不满足题意；
当a＝－1时，x－y＝1与－x＋y＝1平行，满足题意，故a＝－1，
又“a2＝1”是“a＝－1”的必要不充分条件，
所以“a2＝1”是“直线x＋ay＝1与直线ax＋y＝1平行”的必要不充分条件．
4．(2022·佛山模拟)核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lg Xn＝nlg(1＋p)＋lg X0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某个被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为(　　)
(参考数据：100.2≈1.585,10－0.2≈0.631)
A．0.369 B．0.415
C．0.585 D．0.631
答案　C
解析　由题意知，lg(100X0)＝10lg(1＋p)＋lg X0，
即2＋lg X0＝10lg (1＋p)＋lg X0，
所以1＋p＝100.2≈1.585，解得p≈0.585.
5．(2022·全国乙卷)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：h)，得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是(　　)
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
答案　C
解析　对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为＝7.4，A选项结论正确；
对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为×(6.3＋7.4＋7.6＋8.1＋8.2＋8.2＋8.5＋8.6＋8.6＋8.6＋8.6＋9.0＋9.2＋9.3＋9.8＋10.1)＝8.506 25>8，B选项结论正确；
对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值＝0.375<0.4，C选项结论错误；
对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值＝0.812 5>0.6，D选项结论正确．
6．(2022·常德模拟)已知在△ABC中，B＝，AB＝1，角A的角平分线AD＝，则AC等于(　　)
A. B．2
C.＋1 D.＋3
答案　C
解析　在△ABD中，由正弦定理得
＝，
所以sin∠ADB＝＝＝，
因为B＝，
所以∠ADB＝，∠BAD＝，
所以∠BAC＝，∠ACB＝，
sin ＝sin
＝sin cos －cos sin ＝，
在△ABC中，由正弦定理得，＝，
所以AC＝＝
＝＝＋1.
7．(2022·湖南长郡中学模拟)已知f(x)＝x3－x，如果过点(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线．则下列结论中正确的是(　　)
A．－1<m<8 B．0<m<7
C．－3<m<5 D．－2<m<6
答案　D
解析　设切点为(x0，x－x0)，f′(x)＝3x2－1，
所以切线斜率为3x－1，
所以切线方程为
y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0)，
将(2，m)代入方程得m－(x－x0)＝(3x－1)(2－x0)，即2x－6x＋2＋m＝0，
由题设知该方程有3个不等实根．
令u(x)＝2x3－6x2＋2＋m，
u′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
当x<0时，u′(x)>0，
当0<x<2时，u′(x)<0，
当x>2时，u′(x)>0，
所以u(x)在(－∞，0)上单调递增，在