人教高中数学重难点09五种空间向量与立体几何数学思想（核心考点讲与练）(解析版）.docx

重难点09五种空间向量与立体几何数学思想（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：函数与方程思想
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练****在长方体中，，，若线段上存在一点，使得，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题设，令，且，可得，结合二次函数的性质求参数m的范围即可.
【详解】若线段上存在一点，使得，如下图示：
则，令，则，
设且，有，则，，
所以，整理得，
故在上有零点，而且对称轴为，开口向上，
所以，只需，则，即的取值范围是.
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练****如图所示，在三棱锥中，平面，，，且为的中点，于，当变化时，则三棱锥体积的最大值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知且，令，结合换元法、二次函数最值求体积的最大值即可.
【详解】在三棱锥中，平面，知：
，而，
而且，又
∵为的中点，知：
∴设，则，所以，
令，有，
令，，而由二次函数的性质知：时有最大值为，
∴最大值为，
故选：C
【点睛】本题考查三棱锥的体积计算，结合换元法、二次函数最值求三棱锥体积最值，注意换元过程中定义域的等价变化.
3．（2022·全国·高三专题练****空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面
，，两两互相垂直，点，点到，的距离都是3，点是上的动点，满足到的距离与到点的距离相等，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（       ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【解析】建立平面直角坐标系，将问题转化为点的轨迹上的点到轴的距离的最小值，利用到轴的距离等于到点的距离得到点轨迹方程，得到，进而得到所求最小值.
【详解】
如图，原题等价于在直角坐标系中，点，是第一象限内的动点，满足到轴的距离等于点到点的距离，求点的轨迹上的点到轴的距离的最小值．
设，则，化简得：，
则，解得：，
即点的轨迹上的点到的距离的最小值是.
故选：.
【点睛】本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.
4．（2019·全国·高三阶段练****理））已知四棱锥，底面为正方形，且四棱锥的体积为，若其各个顶点都在球表面上，则球表面积的最小值为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设正方形的边长为中心为棱锥高为球心为半径为根据四棱锥的体积得到关于和的关系式,利用球的截面圆的圆心和球心的连线垂直于截面这一结论,在中利用勾股定理得到和
的关系式,通过构造函数,求导判断单调性求函数的最小值,求得球的半径的最小值,进而求得球表面积的最小值.
【详解】设正方形的边长为中心为棱锥高为球心为半径为
则
在中，
即,即 ，
故，令，
则，由得.
当时,，所以函数在上单调递减；
当时,所以函数在上单调递增；
故当时,有最小值为
即最小值为，此时.
故选:B
【点睛】本题考查多面体的外接球问题和利用函数的思想求其外接球半径的最值; 考查空间想象能力、知识迁移能力和转化与化归能力;通过构造函数,求得球的半径的最小值是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.
二、填空题
5．（2022·浙江·高三学业考试）如图，E，F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB，VC上的动点，且满足则的最小值为___________.
【答案】
【分析】根据可得共面，作交于点，连接，则，再根据，可得，再利用相似比可得，，从而可得，再利用二次函数的性质即可的解.
【详解】解：因为，
所以共面，
作交于点，连接，则，
因为，
所以，即，
因为，所以，则，
因为，所以，则，
又，所以，所以，
则，，
故，
所以当时，取得最小值为.
故答案为：.
6．（2021·四川省泸县第二中学高三阶段练****理））如图，正方体的棱长为1，，分别是棱
，的中点，过直线的平面分别与棱，交于，.设，，给出以下四个结论：①平面平面； ②当且仅当时，四边形的面积最小； ③四边形的周长，是单调函数；④四棱锥的体积在上先减后增.其中正确命题的序号是__________．
【答案】①②
【分析】①利用面面垂直的判定定理判断；
②求得，又是定值，结合可作出判断；
③四边形是菱形，分析的变化可作出判断；
④将四棱锥则分割为两个小三棱锥，进而可作出判断.
【详解】对于①：连接，，则由正方体的性质可知，平面，又