微专题 平面向量基本定理及其应用 学案——2023届高考数学一轮人教版.docx

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微专题：平面向量基本定理及其应用
【考点梳理】
1. 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2. 平面向量的正交分解
平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3、应用平面向量基本定理应注意平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量. 选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来.
4、平面向量基本定理的推论
(1)设a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共线，若a＝b，则λ1＝λ3且λ2＝λ4.
(2)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(3)平面向量基本定理的推论：
①已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得＝(1－t)＋t. 特别地，当t＝时，点P是线段AB的中点.
②对于平面内任意一点O，P，A，B三点共线⇔存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.
【题型归纳】
题型一：基底的概念及辨析
1．下列各组向量中，不能作为平面的基底的是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
2．如图，点O是正六边形的中心，则下面结论正确的是（       ）
A． B． C． D．向量与能构成一组基底
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3．已知，是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能做基底的是（       ）
A．与 B．与
C．与 D．与
题型二：用基底表示向量
4．在中，点在边上，，记，，则（       ）
A． B．
C． D．
5．在平面四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD上的点，，，，，则（       ）
A． B． C． D．
6．如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且．记，，则（       ）
A． B． C． D．
题型三：平面向量基本定理的应用
7．如图，在等腰中，已知，，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中，，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
8．在中，点D在边AB的延长线上，，则（       ）
A．， B．， C．， D．，
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9．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则等于（       ）
A．1 B． C． D．
【双基达标】
10．如图，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（       ）
A． B．
C． D．
11．已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（       ）
①，；②，；
③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．在中，若点满足，点为的中点，则（       ）
A． B．
C． D．
13．若是平面α内的两个向量，则（       ）
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A．α内任一向量(λ，μ∈R)
B．若存在λ，μ∈R使＝，则λ＝μ＝0
C．若不共线，则空间任一向量 (λ，μ∈R)
D．若不共线，则α内任一向量 (λ，μ∈R)
14．在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，若的最小值为，则正数的值为（       ）
A．1 B．2 C． D．
15．下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为，且相邻的圆都相切，、、、是其中四个圆的圆心，则（       ）．
A．
B．
C．
D．
16．在中，，是上一点，若，则实数的值为（       ）.
A． B． C． D．
17．已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则的最小值为（       ）
A．2 B．1 C． D．
18．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（　　）
第