易错点13 排列组合与二项式定理-备战2022年高考数学考试易错题人教版.docx

易错点13 排列组合与二项式定理
易错题【01】求解“至少”问题计数重复
排列组合中有一类“至少”问题,若使用分步计数很容易出现计数重复,如从1,2,3,4中任取2个数字,至少有1个偶数,问有多少种不同取法,若先取1个偶数,再从另外3个 数中任取1个,计数会重复,这是因为先2后4或先4后2的结果是一样的,求解此类问题,一般是分类求解,如该问题可分2类：仅有1个偶数及有2个偶数.
易错题【02】利用分步乘法原理计数,分步标准错误
仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法,这n类办法彼此之间是相互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤,缺一不可,即需要依次完成n个步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种数,就用分步乘法计数原理.
易错题【03】分组问题混淆“均分”与“非均分”
平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列.分堆到位相当于分堆后各堆再全排列,平均分堆不到指定位置,其分法数为：.对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配.②被分配的元素是不同的(像“名额”等则是相同元素,不适用),位置也应是不同的(如不同的“盒子”).③分堆时要注意是否均匀.如6分成(2,2,2)为均匀分组,分成(1,2,3)为非均匀分组,分成(4,1,1)为部分均匀分组.
易错题【04】计数时混淆有序与定序
有序是指元素排列有顺序的区别,元素相同,位置不同是不同的结果,定序是指不同元素的相对位置固定,不同元素的定序排列可看作组合问题,此外对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.
易错题【05】混淆二项式系数与系数
要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别. (a＋b)n的展开式中第r+1项的系数是,其值只与有关,与无个,系数是该项中的常数,在(a＋b)n的展开式中,系数最大的项是中间项；但当a,b的系数不是1时,系数最大的项的位置就不一定在中间,需要利用通项公式,根据系数的增减性具体讨论而定.
01
(2021年高考全国乙卷理科)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球
和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,
则不同的分配方案共有 (　　)
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【警示】本题出错的主要原因是重复计数：先让其中4名志愿者各分一个项目,结果有中,最后一名志愿者再任选一个项目,所有不同的分配方案共有480种,故选D.
【答案】C
【问诊】根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有种选法；然后连同其余三人,看成四个元素,四个项目看成四个不同的位置,四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种,根据乘法原理,完成这件事,共有种不同的分配方案,故选C．
【叮嘱】求解至少问题,一般是先分组,后排列.
1. (2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每
项工作由1人完成,则不同的安排方式共有 (　　)
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】D
【解析】解法一：分组分配之分人
首先分组将三人分成两组,一组为三个人,有种可能,另外一组从三人在选调一人,有种可能；其次排序两组前后在排序,在对位找工作即可,有种可能；共计有36种可能．
解法二：分组分配之分工作
工作分成三份有种可能,在把三组工作分给3个人有可能,共计有36种可能．
解法三：分组分配之人与工作互动
先让先个人个完成一项工作,有种可能,剩下的一项工作在有3人中一人完成有
种可能,但由两项工作人数相同,所以要除以,共计有36种可能．
解法四：占位法
其中必有一个完成两项工作,选出此人,让其先占位,即有中可能；剩下的两项工作
由剩下的两个人去完成,即有种可能,按分步计数原理求得结果为36种可能．
解法五：隔板法和环桌排列
首先让其环桌排列,在插两个隔板,有种可能,在分配给3人工作有种可能,按分
步计数原理求得结果为36种可能．
2. (2018年高考数学课标卷Ⅰ(理))从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少
有1位女生入选,则不同的选法共有种．.(用数字填写答案)
【答案】16
【解析】方法一：直接法,1女2男,有,2女1男,有
根据分类计数原理可得,共有12+4=16