高一上册数学湘教版必修1练习：第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.2.2 Word版含解析.docx

2.2.2　换底公式
[学****目标]　1.能记住换底公式，并会证明换底公式.2.会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题.3.能综合利用对数的相关知识解决问题．
[预****导引]
1．对数的换底公式
换底公式：logaN＝(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，N＞0)．
最常用的换底公式是logaN＝和logaN＝.
2．换底公式的两个重要推论
(1)logambn＝logab.
(2)logab＝.
解决学生疑难点___________________________________________
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要点一　利用换底公式求值或化简
例1　求解下列各题：
(1)化简(log43＋log83)；
(2)已知log1227＝a，求log616的值．
解　(1)方法一　原式＝
＝·
＝·＋·＝＋＝.
方法二　原式＝(log223＋log233)·log32
＝·log32＝log23·log32＝.
(2)方法一　由log1227＝a，得＝a，
∴lg 2＝lg 3.
∴log616＝＝＝＝.
方法二　由于log1227＝log1233＝3log123＝a，
∴log123＝.
于是log312＝，即1＋2log32＝.
因此log32＝.
而log616＝4log62＝＝＝＝＝.
故log616＝.
规律方法　1.利用对数的换底公式计算化简时，通常有以下几种思路：
一是先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底．
二是一次性地统一换为常用对数，再化简、通分、求值．
三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式，然后利用变形logambn＝logab.
对出现的对数进行化简，当底数和真数都较小时，容易发现它们之间的关系，然后再借助对数的运算法则求值．
2．对于换底公式，除了正用以外，也要注意其逆用以及变形应用．
跟踪演练1　(1)求值：log89·log2732.
(2)已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456.
解　(1)方法一　log89·log2732＝·＝·＝.
方法二　log89·log2732＝log2332·log3325
＝log23·log32＝.
(2)∵log23＝a，∴log37＝＝＝b.
∴log27＝ab.
∴log1456＝＝＝＝.
要点二　利用对数的换底公式证明等式
例2　已知a，b，c均为正数，3a＝4b＝6c，求证：＋＝.
证明　不妨设3a＝4b＝6c＝m，则m＞0且m≠1，
于是a＝log3m，b＝log4m，c＝log6m.
则由换底公式可得＝logm3，＝logm4，＝logm6，
于是＋＝2logm3＋logm4＝logm(32×4)
＝logm36＝2logm6＝.