高一上册数学湘教版必修1练习：第一章 集合与函数 1.2.4 Word版含解析.docx

1．2.4　从解析式看函数的性质
[学****目标]　1.理解函数单调性的定义，了解有界函数、无界函数的定义.2.运用函数单调性的定义判断函数的单调性.3.通过对一些熟悉函数图象的观察、分析，体会函数最大值、最小值与单调性之间的关系及其几何意义.4.会利用函数的单调性求函数的最值．
[知识链接]
以下说法中：
①函数y＝2x在R上为增函数；
②函数y＝的单调递增区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
③函数y＝x2＋2x－3的单调递增区间为(1，＋∞)．
正确的有________．
答案　①
[预****导引]
1．函数的上界和下界
(1)上界和下界：设D是函数f(x)的定义域，如果有实数B使得f(x)≤B对一切x∈D成立，称B是函数f的一个上界，如果有实数A使得f(x)≥A对一切x∈D成立，称A是函数f的一个下界．
(2)有上界又有下界的函数叫有界函数，否则叫无界函数．
2．函数的最大值与最小值
(1)函数的最大值定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点．
(2)函数的最小值定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有b∈D，使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝b处取到最小值f(b)，称f(b)为f(x)的最小值，b为f(x)的最小值点．
3．函数的单调性
(1)函数的单调性定义：设I是f(x)定义域D的一个非空子集，如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)是区间I上的递增函数；如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)是区间I上的递减函数．
(2)如果函数y＝f(x)是区间I上的递增函数或递减函数，就说f(x)在I上严格单调，区间I叫作f(x)的
严格单调区间．
(3)对于函数f(x)，设h＞0，差式f(x＋h)－f(x)叫作函数在区间I上的差分．差分为正的函数就是递增函数，差分为负的函数就是递减函数.
要点一　判断或证明函数的单调性
例1　 证明函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是递增函数．
证明　f(x＋h)＝x＋h＋，
∴f(x＋h)－f(x)＝x＋h＋－x－
＝h＋－＝h－＝.
∵h＞0，x＞1，∴hx2＋h2x－h＞0，x(x＋h)＞0.
∴＞0.
即差分f(x＋h)－f(x)＞0，
∴f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是递增函数．
规律方法　证明函数单调性的步骤是：(1)作差分f(x＋h)－f(x)；(2)变形整理；(3)判断差分的符号；(4)下结论．
跟踪演练1　(1)设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是(　　)
A．f(x1)＜f(x2)　　　　　 B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
(2)证明函数f(x)＝在(0，＋∞)上为单调递减函数．
(1)答案　D
解析　因为在函数的定义中特别强调了x1，x2两个值必须属于同一个单调区间，