高一数学湘教版必修第一册练习：2.1.3　基本不等式的应用 Word版含解析.docx

第2章一元二次函数、方程和不等式
2.1　相等关系与不等关系
2.1.3　基本不等式的应用
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.(2021江苏南京高一期末)设实数x满足x>0,则2+3x+的最小值为(　　)
A.4-1 B.4+2
C.4+1 D.6
答案A
解析∵x>0,∴x+1>0,∴2+3x+=2+3(x+1)-3+=3(x+1)+-1≥2-1=4-1,当且仅当3(x+1)=,即x=-1>0时等号成立,∴2+3x+的最小值为4-1.故选A.
2.(2020辽宁凤城高一期中)已知a<0,b<0,a+b=-2,则的最大值为(　　)
A.-1
B.-
C.-4
D.-2
答案D
解析∵a<0,b<0,a+b=-2,∴=-(a+b)=-2+≤-2+2=-2,当且仅当a=b=-1时等号成立,故y=的最大值为-2,故选D.
3.(多选题)(2021广东番禺高一期末)已知a>0,b>0,且a2+b2=1,则(　　)
A.a+b≤
B.a+b≤
C.a+b>
D.≥4
答案AD
解析因为(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab≤1+(a2+b2)=2(当且仅当a=b=时等号成立),
又a>0,b>0,则a+b≤,故A正确;
=1++1
≥2+2=2+2=4,当且仅当,即a=b=时等号成立,故D正确.故选AD.
4.一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于 km,那么这批物资全部到达灾区最少需要　　　　　 h. 
答案10
解析当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶 h,最后一辆车驶完全程共需要 h,所以一共需要h,由基本不等式,得≥2=10,当且仅当v=80时等式成立,故最少需要10 h.
5.已知a,b都是正数,满足2a+b=3,则的最小值为　　　　　. 
答案3
解析a,b都是正数,满足2a+b=3,
则(2a+b)
=5+≥(5+4)=3,当且仅当且2a+b=3,即a=b=1时取得最小值3.
6.已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.
解x+y=(x+y)
=a++b=10+.
因为x,y>0,a,b>0,
所以x+y≥10+2=18,即=4.
当且仅当时等号成立.
又a+b=10,
所以
7.(2020黑龙江齐齐哈尔第八中学期中)第一机床厂投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元.该厂通过引进先进技术,在A生产线的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005x)倍.现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线,且每万元创造的利润为1.5(a-0.013x)万元,其中a>0.
(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;
(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润,求a的最大值.
解(1)由题意,得1.5(1+0.005x)(500-x)≥1.5×500,整理得x2-300x≤0,解得0≤x≤300.
又x>0,故0<x≤300.
故x的取值范围为(0,300].
(2)由题意知,B生产线的利润为1.5(a-0.013x)x