高一数学湘教版必修第一册练习：4.1.3　幂函数 Word版含解析.docx

第4章幂函数、指数函数和对数函数
4.1　实数指数幂和幂函数
4.1.3　幂函数
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.(2021山西运城高一期中)下列函数既是幂函数又是偶函数的是(　　)
A.f(x)=3x2 B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=x-3
答案C
解析函数f(x)=3x2,不是幂函数;
函数f(x)=,定义域是[0,+∞),是幂函数,但不是偶函数;函数f(x)==x-4是幂函数,也是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数;
函数f(x)=x-3是幂函数,但不是偶函数.故选C.
2.(2021河北唐山高一期末)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则下列关于f(x)的说法正确的是(　　)
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的定义域为(0,+∞)
D.f(x)在(0,+∞)上单调递增
答案D
解析设幂函数f(x)=xα(α为常数),∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,),∴2α=,∴α=,∴幂函数f(x)=.
∵>0,∴幂函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以选项D正确;∵幂函数f(x)=的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴幂函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数,所以选项A,B,C错误,故选D.
3.已知a=1.,b=0.,c=,则(　　)
A.c<b<a B.c<a<b
C.b<a<c D.a<c<b
答案A
解析b=0.,c==1.,
∵>0,且1.2>>1.1,
∴1.>1.,即a>b>c.
4.(多选题)(2021广东佛山南海高一期中)已知幂函数y=xα(α∈R)的图象过点(3,27),下列说法正确的是(　　)
A.函数y=xα的图象过原点
B.函数y=xα是偶函数
C.函数y=xα是减函数
D.函数y=xα的值域为R
答案AD
解析因为幂函数图象过(3,27),则有27=3α,所以α=3,即y=x3.
故函数是奇函数,图象过原点,函数在R上单调递增,值域是R,故A,D正确,B,C错误.故选AD.
5.若(a+1<(3-2a,则a的取值范围是　　　　　. 
答案
解析因为函数f(x)=的定义域为R,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a,解得a<.
6.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是　　　　　. 
答案9
解析由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=,则y=.由=3,得x=9,即明文是9.
关键能力提升练
7.(2021四川成都七中高一期中)若幂函数f(x)=(m2-2m-2)·xm在(0,+∞)上单调递减,则f(2)=(　　)
A.8 B.3 C.-1 D.
答案D
解析函数f(x)=(m2-2m-2)xm为幂函数,则m2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.当m=-1时,f(x)=x-1,在(0,+∞)上单调递减,满足题意,当m=3时,f(x)=x3,在(0,+∞)上单调递增,不满