专题强化练9 空间折叠问题高一上学期数学人教A版必修第二册（Word 含答案解析）.docx

专题强化练9　空间折叠问题
一、选择题
1.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为 (　　)
A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.90°
2.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,点E,F分别为BC,AD的中点,将四边形CDFE沿EF折起,使得平面CDFE⊥平面ABEF,则异面直线BD与AE所成角的正弦值为 (　　)
A.55　　　B.3010　　　C.7010　　　D.255
3.如图,四边形ABCD是矩形,沿直线BD将△ABD翻折成△A'BD,异面直线CD与A'B所成的角为α,则 (　　)
A.α<∠A'CA　　　B.α>∠A'CA
C.α<∠A'CD　　　D.α>∠A'CD
4.已知矩形ABCD,AB=1,BC=2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中 (　　)
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置,三对直线AC与BD,AB与CD,AD与BC均不垂直
二、填空题
5.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=12,BC=8,D、E分别是AB、AC的中点,将△ADE沿直线DE翻折至△PDE,形成四棱锥P-BCED,在翻折过程中,给出下列结论:①∠DPE=∠BPC;②PE⊥BC;③PD⊥EC;④平面PDE⊥平面PBC.其中不可能成立的结论是　　　　(填序号).
三、解答题 
6.如图,在平面四边形ABCD中,AB=BC=CD=a,B=90°,∠BCD=135°.沿对角线AC将四边形折成直二面角,如图.
(1)求证:平面ABC⊥平面BCD;
(2)求二面角B-AD-C的大小.
7.如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,D=π2,BC=3,AD=DC=1.把△ACD沿着AC翻折至△ACD1的位置,构成三棱锥D1-ABC(如图2).
(1)当BD1=22时,证明:CD1⊥AB;
(2)当三棱锥D1-ABC的体积最大时,求点B到平面ACD1的距离.
参考答案
一、选择题
1.B　当平面ABC与平面ACD垂直时,三棱锥的高最大,由于底面积S△ACD为定值,所以此时三棱锥的体积最大.
取AC的中点E,连接BE,DE,如图,
易知DE⊥AC,所以由面面垂直的性质定理可得DE⊥平面ABC,
所以∠DBE即为直线BD和平面ABC所成的角,
因为BE=DE,所以∠DBE=45°.
故选B.
2.D　如图,连接BF交AE于点O,取DF的中点G,连接OG,AG,则OG∥BD且OG=12BD,所以∠AOG(或其补角)为异面直线BD与AE所成的角.易得DF=FA=1,AE=BF=AB2+AF2=2,所以AO=12AE=1.因为平面CDFE⊥平面ABEF,平面CDFE∩平面ABEF=EF,DF⊥EF,DF⊂平面CDFE,所以DF⊥平面ABEF,又BF,AF⊂平面ABEF,所以DF⊥BF,DF⊥
FA,所以BD=DF2+BF2=5,所以OG=12BD=52.又GF=12DF=12,所以AG=AF2+FG2=52.在△AOG中,sin∠AOG=522-12252=255.
所以异面直线BD与AE所成角的正弦值为255,故选D.
3.B　∵AB∥CD,
∴∠A'BA(或其补角)为异面直线CD与A'B所成的角α,
假设四边形ABCD是正方形,AB=1,
平面A'BD⊥平面ABCD,
连接AC,A'A,A'C,
设AC与BD交于点O,连接A'O,
则A'O⊥平面ABCD,
且A'O=AO=BO=CO=DO=12AC=22,
∴A'A=A'C=A'B=A'D=1,
∴△A'BA,△A'CD是等边三角形,△A'CA是等腰直角三角形,
∴∠A'CA=45°,∠A'CD=∠A'BA=60°,
即α>∠A'CA,α=∠A'CD.
故选B.
4.B　如图,作AE⊥BD,CF⊥BD,
由AB=1,BC=2,得AE=CF=63,BE=EF=FD=33.
假设存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直,连接CE,
∵BD⊥AE,AE∩AC=A,∴BD⊥平面AEC,
∴BD⊥EC,与BD⊥CF矛盾,故A错误.
假设存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直,
∵CD⊥BC,BC∩AB=B,
∴CD⊥平面ABC,
又CD⊂平面BCD,
∴平面ABC⊥平面BCD.
取BC的中点M,连接ME,则ME⊥BD,
∴∠AEM