高一数学课时素养评价第11章解三角形含解析（3份打包）苏教版必修第二册.zip

课时素养评价 十七　余弦定理、正弦定理的应用
(20分钟　35分)
1.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h,则14时两船之间的距离是 (　　)
A.50 n mile B.70 n mile
C.90 n mile D.110 n mile
【解析】选B.到14时,轮船A和轮船B分别走了50 n mile,30 n mile,由余弦定理得两船之间的距离为l==
70(n mile).
【补偿训练】
　　已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°,则A、C两地的距离为 (　　)
A.10 km B. km
C.10 km D.10 km
【解析】选D.在△ABC中,AB=10 km,BC=20 km,∠ABC=120°,则由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos ∠ABC=100+400-2×10×20cos 120°=100+400-2×10×20×=700,所以AC=10 km,
即A、C两地的距离为10km.
2.如图,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD=100米,点C位于BD上,则山高AB等于 (　　)
A.100米 B.50米
C.50米 D.50米
【解析】选C.设AB=h,在△ABC中∠ACB=45°,BC=h,在△ADB中,tan∠ADB=
=,解得h=50米.
3.如图所示,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于
(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
【解析】选B.依题意可得AD=20 m,
AC=30 m,又CD=50 m,
所以在△ACD中,由余弦定理的推论得,
cos ∠CAD=
===,
又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
4.(2020·西安高一检测)甲船在岛B的正南A处,AB=6 km,甲船以每小时4 km的速度向正北方向航行,同时乙船自B出发以每小时3 km的速度向北偏东60°的方向驶去,甲、乙两船相距最近的距离是________km. 
【解析】假设经过x小时两船相距最近,甲、乙分别行至C,D,如图所示,可知BC=6-4x,BD=3x,∠CBD=120°,CD2=BC2+BD2-2BC×BD×cos∠CBD=(6-4x)2+9x2+2(6-4x)3x×=13x2-30x+36.当x=时甲、乙两船相距最近,最近距离为km.
答案:
5.(2020·济南高一检测)如图,-辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西45°的方向上,仰角为α,行驶300米后到达B处,测得此山顶在北偏西15°的方向上,仰角为β,若β=45°,则此山的高度CD=________米,仰角α的正切值为________. 
【解析】设山的高度CD=x米,由题可得∠CAB=45°,∠ABC=105°,AB=300米,
∠CBD=45°.在△ABC中,可得:∠ACB=180°-45°-105°=30°,利用正弦定理可得==,解得CB=300(米),
AC=150(米).
在Rt△BCD中,由∠CBD=45°可得:x=CB=300(米),在Rt△ACD中可得
tan α===-1.
答案:300　-1
6.如图,甲船以每小时30海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处,此时两船相距10海里.问:乙船每小时航行多少海里?
【解析】如图,
连接A1B2,由已知A2B2=10 海里,
A1A2=30×=10 (海里),
所以A1A2=A2B2.
又∠A1A2B2=60°,所以△A1A2B2是等边三角形,所以A1B2=A1A2=10 海里.
由已知,A1B1=20 海里,∠B1A1B2=180°-75°-60°=45°,
在△A1B2B1中,由余弦定理得B1=A1+A1-2A1B1·A1B2·cos 45°=202+(10)2-2×20×10×=200,
所以B1B2=10 海里.
因此,乙船的速度为×60=30(海里/时).
所以乙船每小时航