高一数学必修4（新人教）课后强化训练（含详解）：2.4 第1课时.zip

2.4 第1课时
一、选择题
1．(2010·重庆理，2)已知向量a，b满足a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝(　　)
A．0　　 B．2
C．4 D．8
[答案]　B
[解析]　∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，
∴|2a－b|＝2.
2．已知a、b是非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　由(a－2b)·a＝0及(b－2a)·b＝0得，a2＝b2＝2|a||b|cosθ，∴cosθ＝，θ＝.
[点评]　数量积运算满足多项式乘法法则及以下乘法公式
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，
a2－b2＝(a＋b)·(a－b)，
|a|2＝a2＝a·a.
3．如右图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是(　　)
A.·
B.·
C.·
D.·
[答案]　A
[分析]　先搞清所涉及的两个向量的夹角，再用数量积的概念进行计算，最后比较大小．
[解析]　设正六边形的边长是1，则·＝1××cos30°＝；·＝1×2×cos60°＝1；·＝1××cos90°＝0；·＝1×1×cos120°＝－.
4．(2010·湖南理，4)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)
A．－16 B．－8
C．8 D．16
[答案]　D
[解析]　因为∠C＝90°，所以·＝0，所以·＝(＋)·＝||2＋·＝AC2＝16.
5．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[答案]　D
[解析]　由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA.
同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．
6．已知△ABC中，若＝·＋·＋·，则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
[答案]　C
[解析]　由－·＝·＋·，
得·(－)＝·(－)，
即·＝·，∴·＋·＝0，
∴·(＋)＝0，则·＝0，即⊥，
所以△ABC是直角三角形，故选C.
7．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．A、B、C均不是
[答案]　C
[解析]　由(－)·(＋－2)＝0，得
·(＋)＝0，又∵＝－，∴(－)·(＋)＝0，即||2－||2＝0.
∴||＝||.∴△ABC为等腰三角形．
[点评]　若设BC中点为D，则有＋＝2，
故由·(＋)＝0得·＝0，
∴CB⊥AD，∴AC＝BC.
8．(09·陕西文)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝，则·(＋)等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
[答案]　A
[解析]　如图，∵＝，∴||＝||＝，∴·(＋)
＝·(＋＋＋)
＝·(2＋2)
＝22＋2·
＝2×＋2×cos180°
＝－