人教B版高一数学选择性必修第一册 2.6.1　双曲线的标准方程word含答案.docx

2.6　双曲线及其方程
2.6.1　双曲线的标准方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.与椭圆x24+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)
　　 　　　　　　　　　　　　　　
A.x24-y2=1 B.x23-y2=1
C.x22-y2=1 D.x2-y22=1
解析由题意得,双曲线焦点在x轴上,且c=3,设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),则有a2+b2=c2=3,4a2−1b2=1,解得a2=2,b2=1,故所求双曲线的标准方程为x22-y2=1.
答案C
2.(多选)当α∈π4,3π4时,方程x2sin α+y2cos α=1表示的轨迹可以是(　　)
A.两条直线 B.圆
C.椭圆 D.双曲线
解析当α∈π4,3π4时,sin α∈22,1,cos α∈-22,22,
可得方程x2sin α+y2cos α=1表示的曲线可以是椭圆(sin α>0,cos α>0).
也可以是双曲线(sin α>0,cos α<0),也可能是两条直线(sin α=1,cos α=0).
答案ACD
3.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,且双曲线的焦距为25,则该双曲线的方程为(　　)
A.x24-y2=1 B.x23−y22=1
C.x2-y24=1 D.x22−y23=1
解析由题意得
|PF1|-|PF2|=2a=b,c2=a2+b2,2c=25,解得a2=1,b2=4,
则该双曲线的方程为x2-y24=1.
答案C
4.已知双曲线x24−y25=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　)
A.3或7 B.6或14
C.3 D.7
解析设右焦点为F2,连接PF2,ON(图略),ON是△PF1F2的中位线,∴|ON|=12|PF2|,
∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,
∴|PF2|=14或6,∴|ON|=12|PF2|=7或3.
答案A
5.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是(　　)
A.双曲线的一支 B.圆
C.椭圆 D.双曲线
解析设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,
由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,
∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).
答案A
6.若双曲线x2n-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2n+2,则△PF1F2的面积为(　　)
A.1 B.12 C.2 D.4
解析设点P在双曲线的右支上,
则|PF1|-|PF2|=2n,
已知|PF1|+|PF2|=2n+2,
解得|PF1|=n+2+n,|PF2|=n+2−n,
|PF1|·|PF2|=2.
又|F1F2|=2n+1,
则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
∴△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°,