人教B版高一数学选择性必修第一册 2.7.2　抛物线的几何性质word含答案.docx

2.7.2　抛物线的几何性质
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为23,则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　)
　　 　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.5 C.6 D.7
解析由题意,知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,
∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为23,
则P(3,±23),
∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4,
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
答案A
2.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则(　　)
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
解析∵直线y=kx-k=k(x-1),
∴直线过点(1,0),
又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,
∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.
答案C
3.若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=22,则点A到抛物线的准线的距离为(　　)
A.12 B.32 C.2 D.52
解析由抛物线y2=2x,其准线方程为x=-12,
∵AB垂直于x轴,|AB|=22,
A到y轴的距离为2,假设A在y轴上侧,即y=2,
代入抛物线y2=2x,求得x=1,
点A到抛物线的准线的距离d=1+12=32.
答案B
4.P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点,A,B,P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|,|BB1|,|PP1|,则有(　　)
A.|PP1|=|AA1|+|BB1|
B.|PP1|=12|AB|
C.|PP1|>12|AB|
D.|PP1|<12|AB|
解析如图所示,根据题意,PP1是梯形AA1B1B的中位线,故|PP1|=12(|AA1|+|BB1|)=12(|AF|+|BF|)=12|AB|.
答案B
5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为(　　)
A.23 B.4 C.6 D.43
解析由题意知,△FPM为等边三角形,
|PF|=|PM|=|FM|,∴PM⊥抛物线的准线.
设Pm24,m,则M(-1,m),等边三角形边长为1+m24,又由F(1,0),|PM|=|FM|,
得1+m24=(1+1)2+m2,得m=±23,
∴等边三角形的边长为4,其面积为43,故选D.
答案D
6.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+12y2+3的最小值是　　　　　. 
解析因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0,
因为z=x2+12y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,
所以当x=0时,z最小,其值为3.
答案3
7.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x23−y23=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=　　　　　. 
解析抛物线的焦点坐标F0,p2,准线方程为y=-p2.将y=-p2代入x23−y23=1得|x|=3+p24.
要使△ABF为等边三角形,则tanπ6=|x|p=3+p24p=33,解得p2=3