2021年北京市高考数学试题（解析版）.doc

2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.
【详解】由题意可得：，即.
故选：B.
2. 在复平面内，复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得：.
故选：D.
3. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
A. B. 4 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.
【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥，
其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，
由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，
故其表面积为，
故选：A.
5. 双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：A.
6. 和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值.
【详解】由已知条件可得，则，因此，.
故选：B.
7. 函数，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）
A. 奇函数，最大值为2 B. 偶函数，最大值为2
C. 奇函数，最大值为 D. 偶函数，最大值为
【答案】D
【解析】
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
8. 定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）
A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨
【答案】B
【解析】
【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.
【详解】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，
所以积水厚度，属于中雨
故选：B.
9. 已知圆，直线，当变化时，截得圆弦长的最小值为2，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】由题可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，弦长取得最小值为，解得.
故选：C.
10. 数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.
【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，
则，，，
所以n的最大值为11.
故选：C.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题5小题，每小题5分，共25分．
11. 展开式中常数项为__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：的展开式的通项 令得常数项为.
考点：二项式定理.
12. 已知抛物线，焦点为，点为抛物线上的点，且，则的横坐标是_______；作轴于，则____