2021年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）.doc

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）
数学（理）
一、选择题
1.设，则( ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
设，则，，所以，，所以.
2.已知集合，，则( )
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
，；
当，时，；当，时，.所以，.故选C.
3.已知命题﹐；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
根据正弦函数的值域，故，，为真命题，而函数为偶函数，且时，，故，恒成立.，则也为真命题，所以为真，选A.
4.设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
，向右平移一个单位，向上平移一个单位得到为奇函数.
5.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
如图，为直线与所成角的平面角.
易知为正三角形，又为中点，所以.
6.将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑､冰球和冰壶个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A.种
B.种
C.种
D.种
答案：
C
解析：
所求分配方案数为.
7.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
逆向：.
故选B.
8.在区间与中各随机取个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
由题意记，，题目即求的概率，绘图如下所示.
故.
9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为
“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”.与的差称为“表目距的差”，则海岛的高（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
连接交于，则.
记，，则.
而，.所以.
故，所以高.
10.设，若为函数的极大值点，则
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
若，其图像如图（1），此时，；若，时图像如图（2），此时，.
综上，.
11.设是椭圆：的上顶点，若上的任意一点都满足，
，则的离心率的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
由题意，点，设，则，故
，
.
由题意，当时，最大，则，，，，.
12.设，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析:
设，则，易得
.
当时，，故.
所以在上单调递减，所以，故.
再设，则，易得
.
当时，，所以在上.
故在上单调递增，所以，故.
综上，.
二、填空题
13.已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为 .
答案：
解析：
易知双曲线渐近线方程为，由题意得，，且一条渐近线方程为，则有（舍去），，故焦距为.
14.已知向量，，若，则 .
答案：
解析：
由题意得，即，解得.
15.记的内角，，的对边分别为，，，面积为， ，
，则 .
答案：
解析：
，所以，
由余弦定理，，所以.
16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.
答案：
②⑤或③④
解析：
由高度可知，侧视图只能为②或③.
侧视图为②，如图（1），平面平面，，，，俯视图为⑤.
俯视图为③，如图（2），平面，，，，俯视图为④.
三、解答题
17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品，得到产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和， 样本方差分别
己为和.
（1）求，，，：
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 ( 如果，