人教2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第3部分 思想方法　第2讲　数形结合思想.docx

第2讲　数形结合思想
思想概述　数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．
方法一　利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题．
例1　(1)已知函数f(x)＝若函数F(x)＝a－f(x)有四个零点，分别为x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
思路分析　作f(x)的图象→x1x2＝1→x3，x4是方程－3x2＋3x＋1＝a的两根→结合函数图象得x3x4及a的范围
答案　B
解析　由题意知，函数f(x)＝的图象如图所示，
函数F(x)＝a－f(x)有四个零点x1，x2，x3，x4，
即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有四个交点，
且这些交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，
不妨令x1<x2<0<x3<x4，
则log2(－x1)＝－log2(－x2)，可得x1x2＝1.
当x≥0时，函数f(x)＝－3x2＋3x＋1
＝－32＋，且f(0)＝1，
要使y＝f(x)的图象与直线y＝a有两个交点，则1≤a<.
令－3x2＋3x＋1＝a，即3x2－3x－1＋a＝0，可得x3x4＝，即0≤x3x4<，
所以x1x2x3x4的取值范围是.
(2)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
思路分析　作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象→结合图象可知直线y＝ax介于l与x轴之间→利用导数求出直线l的斜率，数形结合即可求解
答案　D
解析　由题意可作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象．
由图象可知，函数y＝ax的图象是过原点的直线，
当直线介于l与x轴之间符合题意，
直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f(x)|在第二象限的部分的解析式为y＝x2－2x，
求其导数可得y′＝2x－2，当x＝0时，y′＝－2，
故直线l的斜率为－2，
故只需直线y＝ax的斜率a∈[－2,0]．
规律方法　方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式f(x)<g(x)可转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的位置关系．
方法二　利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题
向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等．
例2　(2022·朔州模拟)若|a|＝|b|＝|c|＝2，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的取值范围是(　　)
A．[0,2＋2] B．[0,2]
C．[2－2,2＋2] D．[2－2,2]
思路分析　作以O为圆心，2为半径的圆→a，b，c的终点在圆上→∠AOB＝90°→点C在劣弧AB上→作a＋b＝→求||的最值.
答案　D
解析　如图所示，＝a，＝b，＝c，＝