人教2023届高考数学一轮教案第31讲 两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布（全国）（Word含解析）.zip

第31讲 两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布
【知识点总结】
一、离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质
（1）离散型随机变量的分布列.
表13-1
…
① ;
② .
（2）表示的期望：，反应随机变量的平均水平，若随机变量满足，则.
（3）表示的方差：，反映随机变量取值的波动性。越小表明随机变量越稳定，反之越不稳定。若随机变量满足，则。
二、几种特殊的分布列、期望、方差
（1）两点分布（又称0，1分布）
0
1
1-
= ，= .
（2）二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为，则在次独立重复实验中恰好发生次概率 ，称服从参数为的二项分布，记作 ，=，=.
（3）超几何分布：总数为的两类物品，其中一类为件，从中取件恰含中的件， ，其中为与的较小者，，称 服从参数为的超几何分布，记作 ，此时有公式。
三、正态分布
（1）若是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为 ， （其中是参数，且，）。
其图像如图13-7所示，有以下性质：
①曲线在轴上方，并且关于直线对称；
②曲线在处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
③曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”；
④图像与轴之间的面积为1.
（2）= ，= ，记作 .
当时， 服从标准正态分布，记作 .
（3） ，则在， ，上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的原则。
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练****小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友，如果猜中，将获得红包里的所有金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，，平分红包里的金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，，和平分红包里的金额；如果未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设，，C猜中的概率分别为，，，且，，是否猜中互不影响．
（1）求恰好获得4元的概率；
（2）设获得的金额为元，求的概率分布．
【解析】
解：依题意，当且仅当猜中时恰好获得元，
∴恰好获得元的概率为.
（2）解：的所有可能取值为，
，
，
，
，
∴的概率分布为
0
4
6
12
例2．（2021·辽宁·大连市一0三中学高二阶段练****1)抛掷一颗骰子两次,定义随机变量
试写出随机变量的分布列(用表格格式);
(2)抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率．
【详解】
试题解析：(1)当第一次向上的面的点数等于第二次向上的面点数时,有6种情况,所以
,由互斥事件概率公式得, )
所以所求分布列是

0
1


(2)设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为A,第二次掷得向上一面点数是偶数的事件为B,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为
或
例3．（2021·北京市第五中学通州校区高三阶段练****在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学****时间（单位：h），将样本数据分成[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]五个组，并整理得到如图所示的频率分布直方图．
（1）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学****时间达到5小时及以上的学生人数；
（2）已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学****时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记抽到的甲班学生人数为，求的分布列和均值；
（3）记甲、乙两个班级学生每天学****时间的方差分别为，，试比较与的大小．（只需写出结论）
【解析】
（1）由甲班频率分布直方图知，甲班每天学****时间达到5小时及以上的频率为．
故该校高三年级每天学****时间达到5小时及以上的学生人数约为．
（2）甲班每天学****时间不足4小时的人数约为，乙班每天学****时间不足4小时的人数约为，
所以两个班每天学****时间不足4小时的学生共6人．从中随机抽取3人．则抽到的甲班学生人数的可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，
，，，
所以的分布列为
0
1
2
方法一：．
方法二：．
（3）从甲、乙两个班学生每天的学****时