人教版微专题 函数对称性的应用 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练.docx

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微专题：函数对称性的应用
【考点梳理】
1.抽象函数图象的对称性
函数图象的对称性主要有两种，一种是轴对称，另一种是中心对称. 函数图象的对称性主要包括函数图象自身的对称性(自对称)及不同函数图象之间的对称性(互对称).
(1)一个函数的自对称
①轴对称：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. 特别地，当a＝0时，f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，函数为偶函数. 推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
②中心对称：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. 特别地，当a＝0时，f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点对称，函数为奇函数. 推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数y＝f(x)的图象关于点对称.
(2)两个函数的互对称
①轴对称：函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a成轴对称. 特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称. 推广：两个函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称.
②中心对称：函数y＝f(x)与y＝－f(2a－x)的图象关于点(a，0)成中心对称. 特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称. 推广：两个函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称.
2. 对称性与周期性的关系
(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同).
(2)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a<b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a).
(3)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.
【题型归纳】
题型一：由对称性求函数的解析式
1．设函数，若，则下列不等式正确的是（       ）
A． B．
C． D．
2．下列函数与的图象关于原点对称的函数是（       ）
A． B．
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C． D．
3．下列函数与关于对称的是（       ）
A． B．
C． D．

题型二：由函数对称性求函数值或参数
4．已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为（       ）
A． B．12 C． D．
5．已知函数的图像关于点对称，则（       ）
A． B． C．1 D．3
6．已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（       ）
A．1 B．-1 C．2 D．-3

题型三：函数对称性的应用
7．已知函数，定义域为的函数满足，若函数与图象的交点为，则（       ）
A．0 B．2 C．4 D．6
8．已知函数的图象与的图象关于轴对称，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
9．定义在R上的函数满足；且当时，．则方程所有的根之和为（       ）
A．8 B．10 C．12 D．14

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【双基达标】
10．已知为定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，满足，则（       ）
A． B． C． D．
12．设函数，若关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（       ）
A． B．16 C． D．17
13．已知函数满足，且在上单调递增，当时，，则m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
14．关于函数有下述四个结论：
①的图象关于直线对称       ②在区间单调递减
③的极大值为0                           ④有3个零点
其中所有正确结论的编号为（       ）
A．①③ B．①④ C．②③④ D．①