人教版专题20 坐标系与参数方程（教师版）.docx

专题20 坐标系与参数方程
1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+t6y=t（t为参数），曲线C2的参数方程为x=−2+s6y=−s（s为参数）．
(1)写出C1的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．
【答案】(1)y2=6x−2y≥0；
(2)C3,C1的交点坐标为12,1，1,2，C3,C2的交点坐标为−12,−1，−1,−2．
【解析】
【分析】
(1)消去t，即可得到C1的普通方程；
(2)将曲线C2,C3的方程化成普通方程，联立求解即解出．
(1)
因为x=2+t6，y=t，所以x=2+y26，即C1的普通方程为y2=6x−2y≥0．
(2)
因为x=−2+s6,y=−s，所以6x=−2−y2，即C2的普通方程为y2=−6x−2y≤0，
由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C3的普通方程为2x−y=0．
联立y2=6x−2y≥02x−y=0，解得：x=12y=1或x=1y=2，即交点坐标为12,1，1,2；
联立y2=−6x−2y≤02x−y=0，解得：x=−12y=−1或x=−1y=−2，即交点坐标为−12,−1，−1,−2．
2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3cos2ty=2sint，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsinθ+π3+m=0．
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
【答案】(1)3x+y+2m=0
(2)−1912≤m≤52
【解析】
【分析】
（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；
（2）联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.
(1)
因为l：ρsinθ+π3+m=0，所以12ρ⋅sinθ+32ρ⋅cosθ+m=0，
又因为ρ⋅sinθ=y,ρ⋅cosθ=x，所以化简为12y+32x+m=0，
整理得l的直角坐标方程：3x+y+2m=0
(2)
联立l与C的方程，即将x=3cos2t，y=2sint代入
3x+y+2m=0中，可得3cos2t+2sint+2m=0，
所以3(1−2sin2t)+2sint+2m=0，
化简为−6sin2t+2sint+3+2m=0，
要使l与C有公共点，则2m=6sin2t−2sint−3有解，
令sint=a，则a∈−1,1，令f(a)=6a2−2a−3，(−1≤a≤1)，
对称轴为a=16，开口向上，
所以f(a)max=f(−1)=6+2−3=5，
f(a)min=f(16)=16−26−3=−196，
所以−196≤2m≤5
m的取值范围为−1912≤m≤52.
3．【2021年甲卷文科】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹
的参数方程，并判断C与是否有公共点．
【答案】（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点.
【解析】
【分析】
（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；
（2）方法一：设，设，根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.
【详解】
（1）由曲线C的极坐标方程可得，
将代入可得，即，
即曲线C的直角坐标方程为；
（2）
[方法一]【最优解】
设，设
，
，
则，即，
故P的轨迹的参数方程为（为参数）
曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，
则圆心距为，，两圆内含，
故曲线C与没有公共点.
[方法二]：
设点的直角坐标为，，，因为，
所以，，，
由，
即，
解得，
所以，，代入的方程得，
化简得点的轨迹方程是，表示圆心为，，半径为2的圆；
化为参数方程是，为参数；
计算，
所以圆与圆内含，没有公共点．
【整体点评】
本题第二问考查利用相关点法求动点的轨迹方程问题，
方法一：利用参数方程的方法，设出的参数坐标，再利用向量关系解出求解点的参数坐标，得到参数方程.
方法二：利用代数方法，设出点的坐标，再利用向量关系将的坐标用点的坐标表示，代入曲线C的直角坐标方程，得到点的轨迹方程，最后化为参数方程.
4．【2021年乙卷文科】在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
（1）写出的一