人教第7章 不等式、推理与证明 第1节　不等式的性质与一元二次不等式.docx

第1节　不等式的性质与一元二次不等式
考试要求　1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
1.实数大小比较的依据
(1)a>b⇔a－b>0；
(2)a＝b⇔a－b＝0；
(3)a<b⇔a－b<0.
2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).
3.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}


4.分式不等式与整式不等式
(1)＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0).
(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
1.有关分式的性质
(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b⇔<.
2.绝对值不等式|x|＞a(a＞0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|＜a(a＞0)的解集为(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
3.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形.
4.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　)
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.(　　)
(4)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
解析　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞b⇒/ ac2＞bc2.
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为∅.
(4)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0且x－b≠0.
2.已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝(　　)
A.(－2，3) B.(1，3)
C.(3，4) D.(－2，4)
答案　B
解析　由题意知A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－2<x<3}，所以A∩B＝(1，3).
3.(易错题)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
答案　B
解析　因为c＜d＜0，所以0＞＞，两边同乘－1，得－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－＞－＞0.两边同乘－1，得＜.
4.(2021·烟台月考)不等式≥0的解集为(　　)
A.[－2，1]
B.(－2，1]
C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)
答案　B
解析　原不等式化为
即解得－2＜x≤1.
5.(2022·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则ab的值为(　　)
A.1 B.－ C.4 D.－
答案　B
解析　因为一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，所以方程ax2
＋bx＋1＝0的解为－1和2，所以－1＋2＝－，(－1)×2＝，所以a＝－，b＝，所以ab＝－.
6.(易错题)若关于x的不等式kx2－kx<1的解集是全体实数，则实数k的取值范围是________.
答案　(－4，0]
解析　当k＝0时，0<1恒成立，
当k≠0时，要使kx2－kx－1<0的解集是全体实数，
只需满足解得－4<k<0.
综上可知，－4<k≤0.
考点一　不等式的性质及应用
1.设a＞b＞0，c≠