人教第16节 三角恒等变换（解析版）.docx

第16节 三角恒等变换
基础知识要夯实
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.
cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcos__α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ) .
4.常用结论
（1）tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
（2）cos2α＝，sin2α＝.
（3）1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
基本技能要落实
【探究材料一】
我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学****的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换．
我们已经学****了二倍角的余弦公式：，对于这个公式，我们还可以进行更多的恒等变形．据此，请回答下列问题．
【探究问题】
1．角和是什么关系？
2．由，可用来表示吗？
3．可用来表示吗？
4．由问题2和3，等于什么？
5．把上述问题中的角换成，上述公式还成立吗？
【探究提示】
1．是的二倍角，是的半角；
2．；
3．；
4．；
5．成立．
【探究材料二】
前面，我们学****了两角和与差的正弦公式：
；①
；②
；③
．④
观察上面两个公式的特点，回答下列问题．
【探究问题】
1．公式①②可以看成关于和的方程组吗？
2．问题1中方程组的解是什么？
3．类似的，你可以表示和吗？
4．以上方程组的解叫什么公式？
5．既然我们能表示，那么我们能否可以表示？
【探究提示】
1．可以；
2．；
；
3．；
．
4．积化和差公式；
5．可以，即和差化积公式．
核心素养要做实
考点一　三角函数式的化简
【例1】 (1) 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原式．
（2）的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】原式
．
规律方法　1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.
2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.
【训练1】（1）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原式
．
（2）的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
考点二　三角函数式的求值　多维探究
【例2】 (1) 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
．
（2）计算的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
．
规律方法　1.“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.
2.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选
正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.
【训练2】 (1)(2020·合肥模拟) 已知，，求的值．
【解析】， ①
． ②
①式平方得，
②式平方得．
以上两式相加，有，
即，
得．
（2）已知，，且，，求的值．
【解析】由题意易得，，
∴
．
考点三　三角恒等变换的简单应用
【例3】 (2020·郑州模拟) ．如图，点在以为直径的半圆上移动，且，过点作圆的切线，使．连接，当点在什么位置时，四边形的面积等于？
【解析】设，连接．
∵是直径，
∴．
又，
∴，．