人教2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题2 第1讲　平面向量.docx

第1讲　平面向量
[考情分析]　1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题的形式考查，中低等难度．
考点一　平面向量的线性运算
核心提炼
共线定理及推论
(1)已知向量a＝(x1，y1)，a≠0，b＝(x2，y2)，
则a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)若＝λ＋μ，
则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.
例1　(1)(2022·德州模拟)如图1，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口，可记为图2中的正六边形ABCDEF，其中O为正六边形ABCDEF的中心，设＝a，＝b，若＝，＝3，则等于(　　)
A.a＋b B．－a＋b
C．－a＋b D.a＋b
答案　B
解析　由正六边形的性质可知＝＝，＝＝，因为＝，＝3，
所以＝(＋)，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
所以＝＋＝－(＋)＋＋＝－(－＋)＋＋(－)＝－＋－＝－＝－a＋b.
(2)在△ABC中，＝－2，F为边AB上一点，BE与CF交于点O，若＝＋y，则y等于(　　)
A. B. C. D．2
答案　A
解析　如图所示，∵＝－2，则＝，
∴＝＋y＝＋y，
∵O，B，E三点共线，∴＋y＝1，
解得y＝.
规律方法　向量线性运算问题的求解方法
(1)进行向量的线性运算时，要尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中，利用平行四边形法则、三角形法则求解．
(2)应用平面几何知识，如三角形的中位线、相似三角形的性质等，可以简化运算．
(3)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．
跟踪演练1　(1)(2022·石家庄模拟)在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
答案　B
解析　如图所示，设＝m，＝n，且＝xa＋yb，
则＝xa＋yb＝x＋y＝n－m，
因为＝n－m，
所以解得所以＝a＋b.
(2)(2022·张家口检测)已知向量a＝(1－2m，1)，向量b＝(3m＋1,2)，若a∥b，则实数m＝________.
答案　
解析　因为a∥b，所以3m＋1＝2－4m，所以m＝.
考点二　平面向量的数量积
核心提炼
1．若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则||＝.
3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，
则cos θ＝＝.
例2　(1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于(　　)
A．－6 B．－5 C．5 D．6
答案　C
解析　由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，
所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，
b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.
因为〈a，c〉＝〈b，c〉，
所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，
即＝，
即＝3＋t，解得t＝5.
(2)(2022·益阳调研)如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点P是边BC上的动点，则·(＋)(　　)
A．为定值10 B．为定值6
C．最大值为18 D．与P的位置有关
答案　A
解析　设＝λ(0≤λ≤1)，
则·(＋)＝(＋)·(＋)＝2＋·＋λ·(＋)，
因为λ·(＋)＝λ(＋)·(＋)＝λ(2－2)＝0，
cos∠BAC＝＝＝，
所以·(＋)＝2＋·＝32＋3×3×cos∠BAC＝10.
规律方法　求向量数量积的三种方法
(1)定义法．
(2)利用向量的坐标运算．
(3)利用数量积的几何意义．
跟踪演练2　(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为边DC的中点，F为BE的中点，则·等于(　　)
A．3 B．2 C. D.
答案　B
解析　以A为坐标原点，可建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，E(1,1)，F，∴＝，＝(1,1)，
∴·＝＋＝2.
(2)(2022·厦门集美中学模拟)已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)·(a－c)＝0，|b－c|＝9，则|a|＝________.
答案　3
解析　由已知可得a＝－b－c，则(a－b)·(a－c)＝(－2b－c)·(－b－2c)＝(2b＋c)·(b＋2c)＝0，
即2b2＋2c2＋5b·c＝0，
因为|b－c|＝9，则b2