人教版微专题 函数模型及其应用 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练.docx

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微专题：函数模型及其应用
【考点梳理】
1. 几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数，且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
对数型函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
幂型函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2. 三种函数模型性质比较
　　函数
性质 　　
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)
上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的
变化
随x值增大，
图象与y轴
接***行
随x值增大，
图象与x轴
接***行
随n值变
化而不同
3. 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程
(1)分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”或其他)；
(2)根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；
(3)通过运算、推理求解函数模型；
(4)用得到的函数模型描述实际问题的变化规律、解决有关问题.
【题型归纳】
题型一：利用二次函数模型解决实际问题
1．广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费x和销售额y进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）
广告费x
2
3
4
5
6
销售额y
29
41
50
59
71
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由上表可得回归方程为，又已知生产该商品的成本（不含广告费）为（单位：万元），据此模型预测最大的纯利润为（       ）
A．30.15万元 B．21.00万元 C．19.00万元 D．1.50万元
2．某工厂要在一个正三角形ABC的钢板上切割一个四边形的材料DCEF来加工，若AB=2，DC=，DCEF(如图)，则四边形DCEF面积最大值为（       ）
A． B． C． D．
3．把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（       ）
A． B． C． D．

题型二：分段函数模型的应用
4．某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗该病有效，则下列说法错误的是（       ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为小时
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5．如图，在矩形中，，，是的中点，点沿着边、与运动，记，将的面积表示为关于的函数，则（     ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
6．为了鼓励大家节约用水，遵义市实行了阶梯水价制度，下表是年遵义市每户的综合用水单价与户年用水量的关系表．假设居住在遵义市的艾世宗一家年共缴纳的水费为元，则艾世宗一家年共用水（       ）
分档
户年用水量
综合用水单价/（元）
第一阶梯
（含）
第二阶梯
（含）
第三阶梯
以上
A． B． C． D．
题型三：分式型函数模型的应用
7．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72（图中阴影部分），上下空白各宽2，左右空白各宽1，则四周空白部分面积的最小值是（       ）.
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A．56 B．65
C．120 D．88
8．某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（　　）
A．72元 B．300元 C．512元 D．816元
9．为配制一种药液，进行了三次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二