人教版专题02 函数的概念与基本初等函数I（教师版）.docx

专题02 函数的概念与基本初等函数I
1．【2022年全国甲卷】函数y=3x−3−xcosx在区间−π2,π2的图象大致为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】
令f(x)=(3x−3−x)cosx,x∈[−π2,π2]，
则f(−x)=(3−x−3x)cos(−x)=−(3x−3−x)cosx=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除BD；
又当x∈(0,π2)时，3x−3−x>0,cosx>0，所以f(x)>0，排除C.
故选：A.
2．【2022年全国甲卷】已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（       ）
A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log910>1，再利用基本不等式，换底公式可得
m>lg11，log89>m，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】
由9m=10可得m=log910=lg10lg9>1，而lg9lg11<lg9+lg1122=lg9922<1=lg102，所以lg10lg9>lg11lg10，即m>lg11，所以a=10m−11>10lg11−11=0．
又lg8lg10<lg8+lg1022=lg8022<lg92，所以lg9lg8>lg10lg9，即log89>m，
所以b=8m−9<8log89−9=0．综上，a>0>b．
故选：A.
3．【2022年全国乙卷】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]的大致图像，则该函数是（       ）
A．y=−x3+3xx2+1 B．y=x3−xx2+1 C．y=2xcosxx2+1 D．y=2sinxx2+1
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】
设f(x)=x3−xx2+1，则f(1)=0，故排除B;
设ℎ(x)=2xcosxx2+1，当x∈(0,π2)时，0<cosx<1，
所以ℎ(x)=2xcosxx2+1<2xx2+1≤1，故排除C;
设g(x)=2sinxx2+1，则g(3)=2sin310>0，故排除D.
故选：A.
4．【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则
k=122f(k)=（       ）
A．−21 B．−22 C．−23 D．−24
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对称性和已知条件得到f(x)+f(x−2)=−2，从而得到f3+f5+…+f21=−10，f4+f6+…+f22=−10，然后根据条件得到f(2)的值，再由题意得到g3=6从而得到f1的值即可求解.
【详解】
因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，
所以g2−x=gx+2，
因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+2)−f(x−2)=7，即g(x+2)=7+f(x−2)，
因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，
代入得f(x)+7+f(x−2)=5，即f(x)+f(x−2)=−2，
所以f3+f5+…+f21=−2×5=−10，
f4+f6+…+f22=−2×5=−10.
因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f0=1，所以f(2)=−2−f0=−3.
因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+4)−f(x)=7，又因为f(x)+g(2−x)=5，
联立得，g2−x+gx+4=12，
所以y=g(x)的图像关于点3,6中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，
所以g3=6
因为f(x)+g(x+2)=5，所以f1=5−g3=−1.
所以k=122f(k)=f1+f2+f3+f5+…+f21+f4+f6+…+f22=−1−3−10−10=−24.
故选：D
【点睛】
含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
5．【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且
f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（       ）
A．−3 B．−2 C．0 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意赋值即可知函数fx的一个周期为6，求出函数一个周期中的f1,f2,⋯,f6的值，即可解