人教版专题02 函数与方程（解析版）.docx

专题02 函数与方程
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】函数的零点
对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
【考点2】函数的零点与方程的根之间的联系
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标
即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
【考点3】零点存在定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
【考点4】二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函数
零点的近似值．
【考点5】高频考点技巧
①若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；
④函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.
三、解法解密
方法一：确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：
(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．
(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．
(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．
方法二：导数研究函数图象交点及零点问题 
利用导数来探讨函数的图象与函数的图象的交点问题，有以下几个步骤：
①构造函数；
②求导；
③研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；
④画出函数的草图，观察与轴的交点情况，列不等式；
⑤解不等式得解.
探讨函数的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.
四、考点解密
题型一:判断零点所在区间
例1．（1）、（新疆疏勒县八一中学2018-2019学年高二上期末）
函数的一个零点所在的区间是(　 )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
【答案】B
【解析】由题得，
，
所以
所以函数的一个零点所在的区间是.
故选：B
（2）、（2022·北京市西城外国语学校高一期中）函数零点所在的一个区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据零点存在性定理判断即可.
【详解】令，解得：，只有一个零点.
而，，
由零点存在性定理知，函数零点所在的一个区间是.
故选：C.
【变式训练1-1】．（2019·浙江湖州高一期中）函数的零点所在的区间是（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
【答案】B
【解析】
函数是上的增函数,是上的增函数,
故函数是上的增函数.
,,
则时,;时,,
因为,所以函数在区间上存在零点.
故选:B.
【变式训练1-2】、（2020·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练****文））函数的零点所在区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断出函数的单调性，然后得出的函数符号，从而得出答案
【详解】由在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
又，
所以由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点，
故选：C
题型二:零点个数的判断
例2．（1）、（2008·湖北·高考真题（文））方程的实数解的个数为_____________ .
【答案】2
【详解】因为,作出函数的图像，从图像可以观察到两函数的图像有两个公共点，所以方程的实数解的个数为2.
（2）、（2022·四川省泸县第二中学模拟预测）函数的零点的个数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】利用函数的单调性及零点存在性定理即得.
【详解】由于函数在上是增函数，且，
故函数在上有唯一零点，也即在上有唯一零点.
故选：B.
【变式训练2-1】．（2020·张家口市第一中学高一月考）函数的零点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
由题意可知零点个数