人教版专题04 解三角形（解析版）.docx

专题04 解三角形
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
正弦定
理的常
见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)＝.
【考点2】余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
余弦定理的常见变形
(1)cos A＝；
(2)cos B＝；
(3)cos C＝.
【考点3】三角形的面积公式
(1)S△ABC＝aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
三、解法解密
解法1．正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．
(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．
解法2．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
解法3．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
解法4. 以平面几何为载体的解三角形问题
解决以平面几何为载体的问题，主要注意以下几方面：一是充分利用平面几何图形的性质；二是出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化到三角形中去求解；四是通过三角形中的不等关系(如大边对大角，最大角一定大于等于)确定角或边的范围。
四、考点解密
题型一:正、余弦定理的应用
例1．（1）、（2022·全国·模拟预测（文））在中，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求解．
【详解】因为，由正弦定理得，
则．
故选：B．
（2）、（2019·全国高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得
，故选A．
【变式训练1-1】、在中，角，，的对边分别为，，，若，
，则角（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∴，
∴，
由正弦定理可得：，
∵，∴，即：，
∵，∴.故选：D．[来源:学科网]
【变式训练1-2】、（2022·山东济南·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，c是a，b的等比中项，且的面积为，则_________．
【答案】
【分析】由正弦定理统一为三角函数可得，再由三角形面积公式得出，再由等比中项及余弦定理即可求出，即可得解.
【详解】
由正弦定理得，，
即，
又，所以，得，
由，得，得.
又c是a，b的等比中项，所以.
由余弦定理得.
∴，即，
则，即.
故答案为：
例2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（1）求，的值：
（2）求的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
（1）由，得，
因为在中，，得，
由余弦定理，得，
因为，所以，
解得，所以.
（2）由，得
由正弦定理得.
方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．
【变式训练2-1】、（2022·北京师范大学第三附属中学模拟预测）已知的内角的对边分别为,且.
(1)求的值;
(2)给出以下三个条件:条件①:;条件②:,;条件③:.这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题:
（i）求的值;
（ii）求的角平分线的长.
【答案】(1)
(2)①③正确,（i）;（ii）
【分析】（1）将原式直接