人教版专题05 三角恒等变换（解析版）.docx

专题05 三角恒等变换
一、核心先导
二、考点再现
1 同角三角函数的基本关系式 ：，=，
2 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
3 和角与差角公式
;;
.
= (由点的象限决定, ).
3 二倍角公式及降幂公式
.
.
4 三角函数的周期公式
函数， (A,ω,为常数，且A≠0)的周期；
函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期.
三角函数的图像：
三、解法解密
1．基本公式的变形
(1)、 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变,符号看象限．[来源:学科网ZXXK]
(2)、同角三角函数基本关系式的常用变形：
(sin α±cosα)2＝1±2sin αcosα；(sin α＋cosα)2＋(sin α－cosα)2＝2；
(3)、降幂公式：cos2α＝,sin2α＝.
(4)、升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α,1－cos 2α＝2sin2α.
(5)、辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ),其中sin φ＝,cosφ＝.
2．对称与周期
(1)、正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)、正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
3．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A,ω≠0),则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
4．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
5．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋,k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ,k∈Z确定其横坐标．
6.三角形中的三角函数关系
(1)、sin(A＋B)＝sin C；(2)、cos(A＋B)＝－cos C；(3)、sin ＝cos ；(4)、cos ＝sin .
7.若G是△ABC的重心，则＋＋＝0.
8.在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形．
9. 在△ABC中，若成等差数列，则；若成等比数列，则；若成等差数列，则
.
10.在锐角△ABC中，，，.
四、考点解密
题型一:应用三角函数公式化简求值
例1．（1）、（2022·河北·模拟预测（理））已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件利用二倍角的余弦公式可求，进而利用两角和的正弦公式化简所求即可得解．
【详解】解：因为，
所以．
故选：B.
（2）、设且则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由
,又,,故,即.
【变式训练1-1】、已知,那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【变式训练1-2】、（2022·广东韶关·一模）已知，且，则___________.
【答案】
【分析】由，利用二倍角公式得到，再结合诱导公式，利用商数关系求解.
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴.
故答案为：
题型二:应用三角函数的性质求参数的范围
例2．（1）、（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数，若关于x的方程在上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是_________．
【答案】
【分析】结合函数的奇偶性，化简后画出函数在上的图象，数形结合求出实数的取值范围.
【详解】当时，，故为偶函数，
当时，，图象可由向右平移个单位得到.根据偶函数图象关于轴对称画出在上的图象如图所示，
要想保证方程在上有三个不同的实根，则，
故答案为：
（2）、【2017河北沧州一中11月月考】将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,若函数在区间和上均单调递增,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A

【变式训练2-1】、【2018届江苏省常熟市高三上学期期中】已知函数,若对任意的实数,都存在唯一的实数,使,则实数的最小值是__________．
【答案】
【解析】函数,若对任意的实数,
则：f（α）∈[﹣,0],由于使f（α）+f（β）=0,则：f（β）∈[0, ]．,
,β=,所以：实数m的最小值是．故