人教版专题10-2 不等式选讲题型归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（解析版）.docx

专题10-2不等式选讲题型归类
目录
讲高考 1
题型全归纳 6
【题型一】绝对值不等式恒成立求参 6
【题型二】绝对值三角不等式应用 9
【题型三】绝对值不等式给解集求参数 11
【题型四】绝对值不等式与均值不等式 13
【题型五】柯西不等式型证明 15
【题型六】柯西不等式求最值与参数 18
【题型七】三元不等式证明 20
【题型八】利用三元不等式求最值 23
【题型九】分析法证明不等式 25
【题型十】综合法证明不等式 27
专题训练 30
讲高考

1．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知a，b，c都是正数，且，证明：
(1)；
(2)；
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；
（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．
【详解】（1）证明：因为，，，则，，，
所以，
即，所以，当且仅当，即时取等号．
（2）证明：因为，，，
所以，，，
所以，，
当且仅当时取等号．
2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)若，则．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）方法一：根据，利用柯西不等式即可得证；
（2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证.
【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式
由柯西不等式有，
所以，当且仅当时，取等号，所以.
[方法二]：基本不等式
由，，， ，
当且仅当时，取等号，所以.
（2）证明：因为，，，，由（1）得，
即，所以，
由权方和不等式知，
当且仅当，即，时取等号，
所以.
【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；
方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法．
3．已知函数.
（1）求的值；
（2）求，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；
（2）先判断的取值范围，再代入分段函数解析式，得到的具体不等式写法，解不等式即可.
【详解】解：（1）因为，
所以，因为，
所以.
（2）因为，
则，
因为，所以，
即，解得.
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.
【详解】（1）可得，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2），
如图，在同一个坐标系里画出图像，
是平移了个单位得到，
则要使，需将向左平移，即，
当过时，，解得或（舍去），
则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.
【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
5．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集;
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）.（2）.
【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.
（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.
【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法
当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，
则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，
当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，
所以的解集为.
[方法二]【最优解】：零点分段求解法
  当时，．
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，，解得．
综上，的解集为．
（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值
依题意，即恒成立，
，
当且仅当时取等号，
,
故，
所以或，
解得.
所以的取值范围是.
[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值
由是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得，故，下同解法一.
[方法三]：分类讨论+分段函数法
当时，
则，此时，无解．
当时，
则，此时，由得，．
综上，a的取值范围为．
[方法四]：函数图象法解不等式   
由方法一求得后，构造两个函数和，
即和，
如图，两个函数的图像有且仅有一个交点，
由图易知，则．
【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．
方法一采用几何意义方法