人教第1章 集合与常用逻辑用语 第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件.docx

第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件
考试要求　1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.
1.命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇒/ p
p是q的必要不充分条件
p⇒/ q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇒/ q且q⇒/ p
1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.
2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/ B)两者的不同.
3.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.
(3)若A＝B，则p是q的充要条件.
4.p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题.(　　)
(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　　)
(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.(　　)
(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
解析　(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.
2.(2021·浙江卷)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件.
3.(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案　B
解析　当a1＜0，q＞1时，an＝a1qn－1＜0，此时数列{Sn}递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{Sn}递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若a1＞0，则qn＞0(n∈N*)，即q＞0；若a1＜0，则qn＜0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要条件.综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.
4.(易错题)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是________________.
答案　若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
5.(易错题)若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________.
答案　3
解析　由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.
因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，
所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.
6.已知命题“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为________.
答案　2
解析　由x≥0，y≥0⇒xy≥0，
∴原命题成立，则逆否命题也成立.
由xy≥0⇒/ x≥0，y≥0，如x＝－1，y＝－2，
∴原命题的逆命题不成立，则原命题的否命题也不成立.
　　考点一　命题及其关系
1.已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列说法正确的是(　　)
A.否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”
B.逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”
C.逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”
D.逆否命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”
答案