人教第02讲 复合函数与幂函数（讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）.docx

第2讲 复合函数与幂函数
本讲为重要知识点，题型主要围绕函数的思想以及函数的性质考察，主要通过对函数定义的理解解决抽象函数相关的问题，包括定义域和值域的一系列题型思想，对学生的逻辑思维能力包括对函数的理解需要透彻。此外增加一个基本初等函数中的幂函数，也是高中需要学****的函数之一。
考点一复合函数
1.复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数.
2.函数的复合单调性的变化:
f(x)+g(x)=h(x)
f(x)-g(x)=h(x)
增+增=增
增-增
增+减
增-减=增
减+减=减
减-减
减+增
减-增=减
注意：加同不变，减异随前。
3.复合函数的单调性变化
内函数
外函数
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
注意：同增异减，即内外函数单调性相同时，单调性递增；反之，递减。
考点二 幂函数
1.幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
2.5个常见幂函数的图象与性质
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增 　
在(0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
图象
过定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
高频考点一 已知f(x)定义域，求f(g(x))的定义域
例1、已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵的定义域为，∴，由，得，则函数的定义域为
故选：A.
【变式训练】
1、若函数的定义域为，则函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
的定义域为


即 的定义域为
故答案为：
【基本规律】
1、抽象函数求解解析式：
2、求解定义域就是求解x的取值范围；
3、f( )相同(对应法则相同条件)下“（ ）”内取值范围相同。
注意：抽象函数求解定义域问题时要考虑定义域范围内的单调性问题。
高频考点二 已知f(g(x))定义域，求f(x)的定义域
例2、已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(x)的定义域是（       ）
A．[0，5] B．[-1，4] C．[-3，2] D．[-2，3]
【答案】B
【解析】
∵函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，
∴-2≤x≤3，
∴-1≤x+1≤4，
∴函数y=f(x)的定义域是[-1，4].
故选：B
【变式训练】
1、已知的定义域为，则的定义域