人教第02讲 一元函数的导数及其应用（二）（讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）.docx

第2讲 一元函数的导数及其应用（二）
本讲为重要知识点，也是导数中的难点。主要以切线的题型进行总结，也包含了一些隐零点的思想和极值点偏移的思想解决相关的切线的问题。还是要注意函数的思想和导数的几何意义来理解这类题的核心思想。
考点一 由导数的几何意义求基础切线问题
导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
给切点求切线
以曲线上的点(x0，f(x0))（已知x0为具体值）为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
有切线无切点求切点
以曲线上的点(x0，f(x0))（x0为未知值，可以设出来）为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
无切点求参
规律同上，注意待定系数法的应用。
无切点多参
思维同上，依旧是设切点，待定系数求解方程（组）。
考点二 复杂切线问题
“过点”型切线
以上是“在点”与“过点”的区别，

判断切线条数
1.设点列方程过程同前（求切线过程）
2.切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断
多函数（多曲线）的公切线
1.两个曲线有公切线，且切点是同一点
2.两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。
考点三 切线的应用
切线的应用：距离最值
主要思维：利用平移直线，直到与该函数切线重合。
切线的应用：距离公式转化型
1.距离公式形式：平方和
2.以此还可以类比斜率公式形式
切线的应用：恒成立求参等应用
利用切线作为“临界线”放缩。这类思维，有时也应用于大题的不等式证明，称之为“切线放缩”。
切线的应用：零点等
对于函数与直线交点个数，可以借助于切线（临界线）来求解，但是一定要注意函数一般情况下，是比较简单的凸凹函数。如下图（示意图），可以讲清楚这里边的“非充要”性
高频考点一 由导数的几何意义求基础切线问题
例1、已知函数，则曲线在点处的切线的方程为__________.
【答案】
【解析】
因为，所以，
则所求切线的方程为.故答案为：.
【变式训练】
1、曲线在点处的切线方程为______.
【答案】
【解析】
解：由，得，
所以在点处的切线的斜率为，
所以所求的切线方程为，即，
故答案为：，
例2、曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）
A． B． C．和 D．和
【答案】C
【详解】令，解得，，故点的坐标为，故选C.
【变式训练】
2、已知函数为偶函数，若曲线的一条切线与直线垂直，则切点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】为偶函数，则，
，设切点得横坐标为，则解得，（负值舍去）所以.故选：D
例3、已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的取值是（ ）
A．-1 B． C．1 D．
【答案】B
【详解】，，直线，，
故，解得.故选：.
【变式训练】
3、若曲线的一条切线是直线，则实数b的值为___________
【答案】
【解析】
设切点为，对函数求导，得到，
又曲线的一条切线是直线，
所以切线斜率为，∴，
因此，即切点为，代入切线，可得.
故答案为：.
例4、若直线是曲线的切线，且，则实数b的最小值是______.
【答案】
【解析】
的导数为，由于直线是曲线的切线，设切点为，则，
∴，又，∴（），，
当时，，函数b递增，当时，，函数b递减，
∴为极小值点，也为最小值点，∴b的最小值为.
故答案为：．
【变式训练】
4、已知函数f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x﹣e，则a+b=_____.
【答案】0
【详解】∵在点处的切线方程为，，代入得①.
又②.
联立①②解得：..故答案为：0.
高频考点二 复杂切线问题
例1、过原点作曲线的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为__________.
【答案】
解：设切点坐标为；；故由题意得，；解得，；故切点坐标为；切线的斜率为；
故切线方程为，整理得．故答案为：；.
【变式训练】
1、过点与曲线相