人教第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第5节　指数与指数函数.docx

第5节　指数与指数函数
考试要求　1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，，的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
1.根式的概念及性质
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.
4.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0<y<1
当x<0时，y>1；
当x>0时，0<y<1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.
3.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)＝－4.(　　)
(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.(　　)
(3)函数y＝2x－1是指数函数.(　　)
(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)由于＝＝4，故(1)错误.
(2)当<1时，不可以，故(2)错误.
(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，
故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错误.
(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.
故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，故(4)错误.
2.(易错题)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________.
答案　2
解析　∵f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，
∴a2－3＝1且a>0，a≠1，∴a＝2.
3.(易错题)函数y＝2的值域是________.
答案　(0，1)∪(1，＋∞)
解析　∵≠0，∴y＝2≠1，
而y＝2恒大于0，则函数y＝2的值域为(0，1)∪(1，＋∞).
4.函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.
答案　(1，3)
5.(2021·贵阳一中月考)计算：×＋8×－________.
答案　2
解析　原式＝×1＋2×2－＝2.
6.已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________.
答案　c<b<a
解析　∵y＝是R上的减函数，
∴>>，即a>b>1，
又c＝<＝1，∴c<b<a.
考点一　指数幂的运算
1.计算：8－＋＋[(－2)6]＝________.
答案　π＋8
解析　原式＝(23)－1＋|3－π|＋(26)
＝4－1＋π－3＋23＝π＋8.
2.[(0.064)－2.5]－－π0＝________.
答案　0
解析　原式＝－－1
＝－－1
＝－－1＝0.
3.(2021·沧州七校联考) ·(a>0，b>0)＝________.
答案　
解析　原式＝＝.
4.已知f(x)＝3x＋3－x，f(b)＝4，则f(2b)＝________.
答案　14
解析　∵f(b)＝3b＋3－b＝4，
∴f(2b)＝32b＋3－2b＝(3b＋3－b)2－2
＝42－2＝14.
感悟提升　1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
考点二　指数函数的图象及应用
例1 (1)已知实数a，b满