人教第03讲 抛物线（练）（解析版）.docx

第03讲 抛物线（练）
一、单选题
1．已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（    ）.
A． B． C．或 D．4或
【答案】C
【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.
【详解】抛物线开口向左，
依题意，抛物线上的点与点间的距离为3，
所以，抛物线方程为，
令，得，解得，
故选：C
2．已知函数抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，直线交轴于点，若 ，则点到焦点的距离为（    ）
A．5 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】过点P作x轴的垂线，可知，由此结合可得，求得，即可求得答案.
【详解】如图，不妨设点P在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为N，则,
由题意知， ，即，
因为 ，所以 ,
故,
所以点P到准线的距离为,即点到焦点的距离为5，
故选：A .
3．已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A，B两点，点A在l上的投影为D.若，则（    ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】过点作，垂足为点，作，垂足为点，分析出点为的中点，利用抛物线的定义可求得结果.
【详解】过点作，垂足为点，作，垂足为点，
，所以，四边形为矩形，所以，，
因为，所以，，故，
由抛物线的定义可得，，所以，，
即.故选：A.
4．过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】作图分析，根据抛物线的图形特点结合直线与抛物线的位置关系，可得答案.
【详解】如图示，过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，
符合条件的直线有三条，其中两条是与抛物线相切的直线，其中包含y轴，另一条是与抛物线对称轴平行的直线，
故选：D
5．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的性质进行求解即可.
【详解】由可知该抛物线的焦点坐标为，设，准线方程为，
设，垂足为，
因为点是抛物线上一动点，
所以点到抛物线准线的距离等于，当三点在同一条直线上时，点到点的距离与到抛物线准线的距离之和最小，最小值为，
故选：D
6．已知均为抛物线上的点，为的焦点，且，则直线的斜率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当直线 的斜率大于0时，过作准线的垂线，作，根据，设，推出，的值,计算，同理计算当直线 的斜率小于0时的，即得答案.
【详解】当直线 的斜率大于0时，如图，过作准线l的垂线，
垂足分别为 ，过B作为垂足,
因为 ，所以可设 ，
因为均在C上，所以,
,故，
则，
当直线的斜率小于时，同理可得，
故直线的斜率为，
故选：A.
7．已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以为直径的圆与y轴交于D，E两点，且，则直线l的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设的中点为M，根据求出r，进而得到M点横坐标；再设直线，由韦达定理得到k与M横坐标的关系，进而求出k．
【详解】设的中点为M，轴于点N，过A，B作准线的垂线，垂足分别为，如下图：
由抛物线的定义知，
故，
所以，
即，
解得或（舍去），
故M的横坐标为，
设直线，
将代入，
得，
则，
解得，
故直线l的方程为．
故选：C．
8．已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则的面积为（    ）
A．8 B．12 C． D．
【答案】C
【分析】过作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点，进而根据几何关系得
为等边三角形，，再计算面积即可.
【详解】解：如图，过作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点，
所以，，．
因为，
所以，，．
所以，．
又因为，
所以，所以为等边三角形，
所以．
若在第三象限，结果相同．
故选：C
二、填空题
9．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.
【答案】2
【分析】结合图像，可知且|AB|≤|AF|＋|BF|，由此可得|MM1|≥3，进而可求得AB的中点到x轴的最短距离为2.
【详解】由题意知，抛物线的准线l：，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，如图，
设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则，
因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF