人教第6章 数列 第3节　等比数列及其前n项和.docx

第3节　等比数列及其前n项和
考试要求　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.那么＝，即G2＝ab.
2. 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn-m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
4.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数.(　　)
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)
(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)
(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)在等比数列中，q≠0.
(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.
(3)当a＝1时，Sn＝na.
(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.
2.(2021·北京一模)已知等比数列{an}的公比q＝－2，前6项和S6＝21，则a6＝(　　)
A.－32 B.－16 C.16 D.32
答案　D
解析　因为q＝－2，S6＝21，则有S6＝＝＝－21a1＝21，
即a1＝－1，所以a6＝a1q5＝(－1)×(－2)5＝32.
3.(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
答案　A
解析　易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7.
4.若{an}是公比为q(q≠0)的等比数列，记Sn为{an}的前n项和，则下列说法不正确的是(　　)
A.若a1＞0，0＜q＜1，则{an}为递减数列
B.若a1＜0，0＜q＜1，则{an}为递增数列
C.若q＞0，则S4＋S6＞2S5
D.若bn＝，则{bn}是等比数列
答案　C
解析　A，B显然是正确的；
C中，若a1＝1，q＝，则a6＜a5，即S6－S5＜S5－S4，故C错误；
D中，＝＝(q≠0)，∴{bn}是等比数列.
5.(2022·全国百校大联考)已知在等比数列{an}中，a1a3a11＝8，则a2a8＝________.
答案　4
解析　设公比为q，则an＝a1qn－1，
则a1·a1q2·a1q10＝8，
所以aq12＝8，所以a1q4＝2，
所以a2a8＝a1q·a1q7＝aq8＝(a1q4)2＝4.
6.(易错题)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是________.
答案　1或－
解析　当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意；
当q≠1时，得q＝－.
综上，q的值是1或－.
考点一　等比数列基本量的运算
1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　)
A.16 B.8 C.4 D.2
答案　C
解析　设等比数列{an