人教第8章 立体几何与空间向量 第2节　空间几何体的表面积和体积.docx

第2节　空间几何体的表面积和体积
考试要求　了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
1.多面体的表(侧)面积
多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
3.空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体　　　　
表面积
体积
柱　体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝S底h
锥　体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝S底h
台　体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
1.正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝a；
(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
3.正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.(　　)
(2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.(　　)
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(　　)
(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝a.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.
(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.
2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm
答案　B
解析　设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.
3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.
答案　1∶47
解析　设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝ abc.所以V1∶V2＝1∶47.
4.(2020·天津卷)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A.12π B.24π C.36π D.144π
答案　C
解析　设球的半径为R，由题意知球的直径2R＝，得R＝3，该球的表面积S＝4πR2＝36π.故选C.
5.(2021·北京卷)某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为(　　)
A. 　　　 B.
C. 　　　 D.
答案　A
解析　根据三视图知该四面体为三棱锥S－ABC，如图所示(其中正方体的棱长为1)，故S表＝3××1×1＋×(1＋1)＝.故选A.
6.(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　)
A.2 B.2 C.4 D.4
答案　B
解析　设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为，侧面展开图为一个半圆，所以2π×＝πl，解得l＝2.
考点一　空间几何体的表面积与侧面积
1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)
A.12π B.12π C.8π D.10π
答案　B
解析　由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为8的正方形，则圆柱的高与底面直径均为2.
设圆柱的底面半径为r，则2r＝2，得r＝.
所以圆柱的表面积S圆柱＝2πr2＋2πrh＝2π()2＋2π××2＝4π＋8π＝12π.
2.(2020·北京卷)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为(　　)
A.6＋ B.6＋2
C.12＋ D.12＋2
答案　D
解析　由三视图知该几何体为正棱柱，且底面是边长为2的正三角形，高为2，则表面积为S＝2S底＋S侧＝2××22＋3×22＝2＋12.故选D.
3.(2021·贵阳诊断)如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个