人教第36节 参数方程（解析版）.docx

第36节 参数方程
基本技能要落实
考点一　极坐标系与直角坐标系互化
【例1】1.将直角坐标方程与极坐标方程互化：
(1)y2＝4x；
(2)y2＋x2－2x－1＝0；
(3)θ＝(ρ∈R)；
(4)ρcos2 ＝1；
(5)ρ2cos 2θ＝4；
(6)ρ＝.
解　(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简得ρsin2θ＝4cos θ.
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0.
(3)当x≠0时，由于tan θ＝，故tan ＝＝，化简得y＝x(x≠0)；
当x＝0时，y＝0.显然(0，0)在y＝x上，故θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x.
(4)因为ρcos2＝1，所以ρ·＝1，而ρ＋ρcos θ＝2，所以＋x＝2.化简得y2＝－4(x－1).
(5)因为ρ2cos 2θ＝4，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即x2－y2＝4.
(6)因为ρ＝，所以2ρ－ρcos θ＝1，
因此2－x＝1，化简得3x2＋4y2－2x－1＝0.
2.(1)若点P的极坐标为，求点P的直角坐标；
(2)求直线θ＝(ρ∈R)和圆ρ＝2的交点的极坐标.
解　由极坐标与直角坐标表示同一点的坐标，那么它们之间可以互化，则
或
(1)ρ＝3，θ＝－，故x＝ρcos θ＝，y＝－.
从而点P的直角坐标为.
(2)显然是一个交点，由于圆和直线都关于原点对称，所以另一个交点是.
【方法技巧】
1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0).
2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.
考点二　求曲线的极坐标方程
【例2】(2019·全国Ⅱ卷)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
解　(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，
当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.
由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点.
在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.
经检验，点P在曲线ρcos＝2上，
所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.
因为P在线段OM上，且AP⊥OM，
所以θ的取值范围是.
所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.
【方法技巧】
　求曲线的极坐标方程的步骤
(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点.
(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.
(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.
【跟踪训练】
在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心是C，半径为1.求：
(1)圆C的极坐标方程；
(2)直线l被圆C所截得的弦长.
【解析】(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，
|OA|＝|OD|cos或|OA|＝|OD|cos，
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.
(2)由ρsin＝1，得ρ(sin θ＋cos θ)＝1，
因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以直线l的直角坐标方程为x＋y－＝0，
又圆心C的直角坐标为满足直线l的方程，
所以直线l过圆C的圆心，
故直线l被圆C所截得的弦长为直径2.
考点三　极坐标方程的应用
【例3】 (2022·郑州质检)已知曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2.
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)射线θ＝(ρ＞0)与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M(－4，0)，求△MPQ的面积.
解　(1)曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，即x2＋y2－6y＝0.
从而ρ2＝6ρsin θ.
所以