人教福建省福州第一中学第一次调研测试数学试题.docx

福建省福州第一中学
2023届第一次调研测试
数学
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
2．如果复数是纯虚数，则实数的值为
A．0 B．2 C．0或3 D．2或3
3．若函数同时满足：(1)对于定义域内的任意，有；(2)对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数：①；②；③；④.
其中是“理想函数”的序号是
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
4．已知函数的部分图象如图所示，，则下列判断正确的是
A．函数的最小正周期为4
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象
5．设都是正数，且，则下列结论错误的是（    ）
A． B． C． D．
6．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，异面直线与所成角为，点，，，都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
7．已知，且，，其中，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知，则下列不等式成立的是（    ）
A． B．
C． D．
10．在锐角三角形中，、、是其三内角，则下列一定成立的有（    ）
A． B．
C． D．
11．在中角、、所对的边分别为、、，能确定为锐角的有（    ）
A． B．
C．、均为锐角，且 D．
12．设是等差数列的前n项和，且，则（    ）
A． B．公差
C． D．数列的前n项和为
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13．如图，直三棱柱，，，侧棱长为，点是侧面内一点．当最大时，过、、三点的截面面积的最小值为______．
14．若函数y＝sin ωx在区间上单调递减，则ω的取值范围是________.
15．若直线和曲线相切，则实数的值为_________.
16．已知函数，则函数的零点个数是______个.
四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．在△ABC中，根据下列条件，解三角形．
（1）A＝60°，c＝，a＝；
（2）a＝，b＝，B＝45°.
18．已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象右移个单位得到的图象，求函数的单调递增区间．
19．如图，要在一块矩形空地上开辟一个内接四边形为绿地，且点､､､都落在矩形的四条边(含顶点)上.已知，，且.设，绿地的面积为.
（1）写出关于x的函数关系式，并写出这个函数的定义域；
（2）记的最大值为，求的表达式.
20．在多面体中，四边形为菱形，，平面平面，，，.
（1）若是线段的中点，证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
21．已知各项均为正数的两个数列满足且
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设数列的前n项和分别为求使得等式：成立的有序数对
22．已知函数在处取得极值-14.
(1)求a，b的值；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求函数在上的最值.
参考答案：
1．C
试题分析：，，故A选项错误，B选项错误，，所以，故C选项正确，，D选项错误，故选C.
考点：1.函数的定义域；2.集合间的包含关系
2．A
由纯虚数的概念求得值，注意虚部不能为0．
根据纯虚数的概念可知:
且，
解，得或；
当时，符合题意，
当时，（舍） ，
所以.
故选：A.
3．C
由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性，能求出结果．
解：函数同时满足①对于定义域上的任意，恒有；
②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”，
“理想函数”既是奇函数，又是减函数，
①是偶函数，且不是单调函数，故①不是“理想函数”；
②是奇函数，且是减函数，故②是“理想函数”；
③是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故③不是“理想函数”．
④是奇函数，且是减函数，故④是“理想函数”．
故选
本题考查了新定义、函数的奇偶性、单调性，属于中档题．
4．C
根据函数，的部分图象，
，，．
再根据五点法作图可得，，．
故它的周期为，故不对．
令，，的