人教考点7-3 体积与表面积(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）.docx

考点7 -3体积与表面积
1．（2023·全国·高三专题练****已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出母线长，再由圆锥的表面积公式求解即可.
【详解】
设圆锥的母线长为，则，解得，则该圆锥的表面积为.
故选：C.
2．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】
设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．
3．（2022·全国·高三专题练****如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
画出截面图，设储物盒所在球的半径为，从而利用表达出小球最大半径和正方体棱长，进而求出比值.
【详解】
设储物盒所在球的半径为，如图，
小球最大半径满足，所以，
正方体的最大棱长满足，解得：，
∴，故选：D.
4.（2022·江西·模拟预测（文））如图，在棱长为2的正方体中，E是侧面内的一个动点，则三棱锥的体积为_________.
【答案】
【分析】
根据三棱锥的体积公式可求出结果.
【详解】
点E到平面的距离为2，
所以.
故答案为：.
5．（2022·辽宁·二模）市面上出现某种如图所示的冰激凌，它的下方可以看作一个圆台，上方可以看作一个圆锥，对该组合体进行测量，圆台下底面半径为，上底面半径为，高为，上方的圆锥高为，则此冰激凌的体积为_______．
【答案】
【分析】
先计算圆台的体积，再计算圆锥的体积，二者相加即可.
【详解】圆台的体积 ，圆锥的体积 ，
总体积为 ，故答案为：   .
6.（2022·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（       ）
A．23 B．24 C．26 D．27
【答案】D
【分析】
作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.
【详解】
该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，
因为，所以，
因为重叠后的底面为正方形，所以,
在直棱柱中，平面BHC，则,
由可得平面，
设重叠后的EG与交点为
则
则该几何体的体积为.
故选：D.
7．（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
【详解】
解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，又，则，所以，
所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，
所以.故选：C.
8．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】
∵ 球的体积为，所以球的半径,
设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，
所以正四棱锥的体积，所以
，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.
9.（2022·全国·高三专题练****在三棱锥中，垂直底面，，，若三棱锥的内切球半径为，则此三棱锥的侧面积为___________.
【答案】
【分析】
设三棱锥内切球圆心为，以为顶点将三棱锥分为四个小三棱锥，通过三棱锥体积不变即可求出