人教考向18平面向量的数量积及应用举例（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）.docx

考向18 平面向量的数量积及应用举例
1．（2022甲卷理第13题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则　 　．
【答案】
【解析】．
2.（2022甲卷文科第13题）已知向量，，若，则________．
【答案】
【解析】由，得，解得．
3.（2022乙卷理科第3题）已知向量满足，，，则
B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设，，得，代入，，有，故.
4.（2022乙卷文科第3题）3．已知向量,，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得，则，选项D正确．
（2022年新高考2卷第4题）已知，，，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知有， ，故，解得.
5.（2022北京卷第10题）10.在中，为所在平面内的动点，且=1，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】建立如图所示坐标系，由题易知，设

所以选D.
【方法2】注意：，且
其中，.
6.（2021新高考1卷第10题）10．已知为坐标原点，点，，，，则
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A：，，A对；
因为，，所以B错；
因为，
，，所以C对；
而，
，所以D错．
故答案为AC．
1.计算向量数量积的三个角度
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ是a与b的夹角)．
(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．　
2.求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系．
(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝ .　
3.求向量的模或其范围的方法
(1)定义法：|a|＝＝，|a±b|＝＝.
(2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝.
(3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解．
1．求平面向量的模的公式
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝＝；
(2)|a±b|＝＝；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
1．投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．
2．向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念，要加以区别．
3．向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
1.已知向量a，b的夹角为，若c＝，d＝，则c·d＝(　　)
A.　　　 B． 　C.　 D．
【答案】B
【解析】c·d＝·＝＝cos ＝.故选B.
2．已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1，2)，则向量b在a方向上的投影为(　　)
A. B．－ C．－ D．－
【答案】D
【解析】由a＝(1，2)，可得|a|＝，由a·(b＋a)＝2，可得a·b＋a2＝2，所以a·b＝－3，所以向量b在a方向上的投影为＝－.故选D.
3．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a，c的数量积为(　　)
A．0 B．－2a2 C．2a2 D．－a2
【答案】A
【解析】由非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，可得c＝－(a＋b)，所以a·c＝a·[－(a＋b)]＝－a2－
a·b＝－a2－|a|·|b|·cosa，b．由于a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，所以a·c＝－a2－|a|·|b|cos 120°＝－|a|2－2|a|2×＝0.故选A.
4.已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝a＋b，则sin〈a，c〉＝(　　)
A. B． C. D．
【答案】B
【解析】因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1.又因