人教版高中数学第2讲　排列与组合.doc

第2讲　排列与组合
一、知识梳理
1．排列、组合的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合的定义
合成一组
2.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数
公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
C＝＝
性质
A＝n！，0！＝1
C＝C，C＋C＝C
常用结论
1．“排列”与“组合”的辨析
排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合．
2．解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)合理分类与准确分步．
(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．
(5)不相邻问题插空处理．
(6)定序问题倍缩法处理．
(7)分排问题直排处理．
(8)“小集团”排列问题先整体后局部．
(9)构造模型．
(10)正难则反，等价转化．
二、教材衍化
1．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)
A．144　　　　　　　 B．120
C．72 D．24
解析：选D．“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.
2．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为(　　)
A．8 B．24
C．48 D．120
解析：选C．末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.
3．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是(　　)
A．18 B．24
C．30 D．36
解析：选C．选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有CC＋CC＝30种．故选C．
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(　　)
(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　)
(4)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　)
(5)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
二、易错纠偏
(1)分类不清导致出错；
(2)相邻元素看成一个整体，不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法．
1．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种．
解析：分两类：第一类，取2台原装计算机与3台组装计算机，有CC种方法；第二类，取3台原装计算机与2台组装计算机，有CC种方法．所以满足条件的不同取法有CC＋CC＝350(种)．
答案：350
2．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
解析：设这5件不同的产品分别为A，B，C，D，E，先把产品A与产品B捆绑有A种摆法，再与产品D，E全排列有A种摆法，最后把产品C插空有C种摆法，所以共有AAC＝36(种)不同摆法．
答案：36
考点一　排列问题(基础型)
理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．
核心素养：数学建模
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
【解】　(1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A·A＝5 040(种)．　
(3)法一(特殊元素优先法)：先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种)．　
法二(特殊位置优先法)：首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种)．
(5)(插