人教版高中数学第3节 导数与函数的极值、最值.doc

第3节　导数与函数的极值、最值
考试要求　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
1.函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x0为极值点.(　　)
(2)函数的极大值不一定是最大值，最小值也不一定是极小值.(　　)
(3)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.(　　)
(4)函数f(x)在区间[a，b]上一定存在最值.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
解析　(1)反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.(3)反例：f(x)＝x2在区间(－1，2)上的最小值为0.
2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　A
解析　由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数值符号为左负右正.
3.(多选)(2022·青岛月考)已知f(x)＝，则f(x)(　　)
A.在(－∞，＋∞)上单调递减
B.在(－∞，1)上单调递增
C.有极大值，无极小值
D.有极小值，无极大值
答案　BC
解析　由题意知f′(x)＝，当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)递增，x＞1时，f′(x)＜0，f(x)递减，f(1)是函数的极大值，也是最大值f(1)＝，函数无极小值.
4.(2021·新乡三模)某冷饮店的日销售额y(单位：元)与当天的最高气温x(单位：℃，20≤x≤40)的关系式为y＝x2－x3，则该冷饮店的日销售额的最大值约为(　　)
A.907元 B.910元 C.915元 D.920元
答案　C
解析　∵y＝x2－x3，20≤x≤40，
∴y′＝x－x2＝－x(x－38).
∴当20≤x≤38时，y′≥0，即函数在[20，38]上单调递增，当38≤x≤40时，y′≤0，即函数在[38，40]上单调递减，∴当x＝38时，函数取值最大值，∴ymax＝×382－×383≈915.
5.(易错题)函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________.
答案　(－∞，－)∪(，＋∞)
解析　f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(2a)2－4×3×2＞0，解得a＞或a＜－.
6.若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________.
答案　4
解析　f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)＜0，当x∈(2，3]时，f′(x)＞0，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.
　考点一　利用导数求函数的极值
角度1　根据函数图象判断极值
例1 (多选)(2022·重庆检测)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则(　　)
A.－3是函数y＝f(x)的极值点
B.－1是函数y＝f(x)的极小值点
C.y＝f(